Question

满足方程 $x^{\log_{10}x}=\frac{x^3}{100}$ 的 $x$ 值集合为：

The set of $x$ -values satisfying the equation $x^{\log_{10}x}=\frac{x^3}{100}$ consists of:

仅 $\dfrac1{10}$

$\dfrac1{10},$ only

仅 $10$

$10,$ only

仅 $100$

$100,$ only

仅 $10$ 或 $100$

$10$ or $100,$ only

多于两个实数

more than two real numbers

对数要求 $x\gt0$ ；令 $y=\log_{10}x$

The logarithm requires $x\gt0$ ; set $y=\log_{10}x$

两边取以 $10$ 为底的对数，得到关于 $y$ 的二次方程

Take base- $10$ logarithms to obtain a quadratic in $y$

令 $y=\log_{10}x$ ，则 $x=10^y$ 。两边取以 $10$ 为底的对数，得到 $y^2=3y-2\text{。}$ 因此 $(y-1)(y-2)=0$ ，所以 $x=10$ 或 $x=100$ 。

所以正确答案是 D。

Set $y=\log_{10}x,$ so $x=10^y.$ Taking base- $10$ logarithms gives $y^2=3y-2.$ Hence $(y-1)(y-2)=0,$ so $x=10$ or $x=100.$

Thus, the correct answer is D.