Question

有多少个整数有序三元组 $(a,b,c)$ 满足 $\begin{aligned} |a+b|+c&=19,\\ ab+|c|&=97 \end{aligned}\text{？}$

How many ordered triples of integers $(a,b,c)$ satisfy $\begin{aligned} |a+b|+c&=19,\\ ab+|c|&=97? \end{aligned}$

$0$

$4$

$6$

$10$

$12$

答案：E

知识点：Diophantine equations absolute values factorization

难度评级：2290

小提示：

令 $s=|a+b|$ ，则 $c=19-s$ ，再根据 $c$ 的正负分类

Set $s=|a+b|$ , so $c=19-s$ , and split according to the sign of $c$

大提示：

当 $c\lt0$ 时，将所得方程改写为乘积等于 $117$ 的形式

When $c\lt0$ , rewrite the resulting equations as products equal to $117$

解答：

若 $c\ge0$ ，代入并因式分解后，没有任何数对符合 $a+b$ 所需的符号。因此 $c\lt0$ ，所以 $s\gt19$ 且 $ab+s=116$ 。若 $a+b=s$ ，则 $(a+1)(b+1)=117$ ，得到无序数对 $\{0,116\}$ 、 $\{2,38\}$ 、 $\{8,12\}$ 。若 $a+b=-s$ ，则 $(a-1)(b-1)=117$ ，得到 $\{-116,0\}$ 、 $\{-38,-2\}$ 、 $\{-12,-8\}$ 。每个无序数对都有两种次序，因此共有 $6\cdot2=12$ 个三元组。正确答案是 E。

If $c\ge0,$ substitution and factoring lead to no pair consistent with the required sign of $a+b.$ Thus $c\lt0,$ so $s\gt19$ and $ab+s=116.$ If $a+b=s,$ then $(a+1)(b+1)=117,$ producing the unordered pairs $\{0,116\},$ $\{2,38\},$ $\{8,12\}.$ If $a+b=-s,$ then $(a-1)(b-1)=117,$ producing $\{-116,0\},$ $\{-38,-2\},$ $\{-12,-8\}.$ Each unordered pair has two orders, giving $6\cdot2=12$ triples. The correct answer is E.

1997 AMC 12 第 28 题

答案：E

难度评级：2290

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题