Question

在三角形 $ABC$ 中，从顶点 $A$ 出发的中线垂直于从顶点 $B$ 出发的中线。若边 $AC$ 和 $BC$ 的长度分别为 $6$ 和 $7$ ，则边 $AB$ 的长度为：

In triangle $ABC,$ the median from vertex $A$ is perpendicular to the median from vertex $B.$ If the lengths of sides $AC$ and $BC$ are $6$ and $7,$ respectively, then the length of side $AB$ is:

$\sqrt{17}$

$4$

$4\tfrac12$

$2\sqrt5$

$4\tfrac14$

答案：A

知识点：重心中线（几何）向量勾股定理

难度评级：2300

小提示：

将重心置于原点，并设 $A,B$ 的位置向量为互相垂直的向量 $u,v$

Place the centroid at the origin and let the position vectors of $A,B$ be perpendicular vectors $u,v$

大提示：

则 $C=-u-v$ ，所以 $AC^2=|2u+v|^2$ ，且 $BC^2=|u+2v|^2$

Then $C=-u-v,$ so $AC^2=|2u+v|^2$ and $BC^2=|u+2v|^2$

解答：

将重心置于原点。设 $A$ 和 $B$ 的位置向量分别为 $u$ 和 $v$ 。两条中线分别沿 $u$ 和 $v$ 的方向，所以 $u\cdot v=0$ 。由重心条件还可得 $C=-u-v$ 。

设 $U=|u|^2$ ，且 $V=|v|^2$ 。则 $AC^2=|2u+v|^2=4U+V=36$ 以及 $\begin{aligned} BC^2&=|u+2v|^2\\ &=U+4V=49 \end{aligned}\text{。}$ 将两个方程取适当倍数后相加，得到 $U+V=17$ 。最后， $AB^2=|u-v|^2=U+V=17\text{，}$ 所以 $AB=\sqrt{17}$ 。

因此，正确答案是 A。

Place the centroid at the origin. Let the position vectors of $A$ and $B$ be $u$ and $v.$ The two medians lie along $u$ and $v,$ so $u\cdot v=0.$ Also the centroid condition gives $C=-u-v.$

Let $U=|u|^2$ and $V=|v|^2.$ Then $AC^2=|2u+v|^2=4U+V=36$ and $\begin{aligned} BC^2&=|u+2v|^2\\ &=U+4V=49. \end{aligned}$ Adding appropriate multiples gives $U+V=17.$ Finally, $AB^2=|u-v|^2=U+V=17,$ so $AB=\sqrt{17}.$

Therefore, the correct answer is A.

1970 AMC 12 第 28 题

答案：A

难度评级：2300

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题