Question

若 $a$ 与 $b$ 的算术平均数是其几何平均数的两倍，且 $a\gt b\gt0$ ，则 $\frac{a}{b}$ 取到最接近整数后的一个可能值为：

If the arithmetic mean of $a$ and $b$ is double their geometric mean, with $a\gt b\gt0,$ then a possible value for the ratio $\frac{a}{b},$ to the nearest integer, is:

$5$

$8$

$11$

$14$

以上皆非

none of these

答案：D

知识点：算术-几何平均不等式二次方程比与比例

难度评级：1830

小提示：

令 $t=\frac{a}{b}$ ，并将平均数方程除以 $b$

Set $t=\frac{a}{b}$ and divide the mean equation by $b$

大提示：

将方程 $t+1=4\sqrt t$ 两边平方后得到二次方程

The equation $t+1=4\sqrt t$ becomes quadratic after squaring

解答：

令 $t=\frac{a}{b}\gt1$ 。由条件得 $\frac{t+1}{2}=2\sqrt t$ ，所以 $t^2-14t+1=0$ 。大于 $1$ 的根为 $t=7+4\sqrt3\approx13.93$ ，最接近的整数为 $14$ 。

因此，正确答案是 D。

Let $t=\frac{a}{b}\gt1.$ The condition gives $\frac{t+1}{2}=2\sqrt t,$ so $t^2-14t+1=0.$ The root greater than $1$ is $t=7+4\sqrt3\approx13.93,$ whose nearest integer is $14.$

Therefore, the correct answer is D.

1968 AMC 12 第 28 题

答案：D

难度评级：1830

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题