Question

当 $n$ 等于下列哪个数时，多项式 $x^{2n}+1+(x+1)^{2n}$ 不能被 $x^2+x+1$ 整除？

The polynomial $x^{2n}+1+(x+1)^{2n}$ is not divisible by $x^2+x+1$ if $n$ equals

$17$

$20$

$21$

$64$

$65$

答案：C

知识点：多项式单位根模幂运算

难度评级：2100

小提示：

把非实三次单位根 $\omega$ 代入该多项式

Evaluate the polynomial at a nonreal cube root of unity $\omega$

大提示：

利用 $1+\omega=-\omega^2$ ，并按 $n$ 模 $3$ 的余数分类

Use $1+\omega=-\omega^2$ and consider $n$ modulo $3$

解答：

令 $\omega^2+\omega+1=0$ 。由于 $1+\omega=-\omega^2$ ，把 $\omega$ 代入多项式可得 $\omega^{2n}+1+\omega^{4n}\text{。}$ 该式通常为 $0$ ；仅当 $\omega^{2n}=1$ 时，它才等于 $3$ 。后一种情形恰好在 $n$ 是 $3$ 的倍数时发生。选项中只有 $21$ 能被 $3$ 整除，所以此时整除性不成立。

因此，正确答案是 C。

Let $\omega^2+\omega+1=0.$ Since $1+\omega=-\omega^2,$ the polynomial evaluated at $\omega$ is $\omega^{2n}+1+\omega^{4n}.$ This is $0$ unless $\omega^{2n}=1,$ in which case it is $3.$ The latter occurs exactly when $n$ is divisible by $3.$ Among the choices only $21$ is divisible by $3,$ so that is the value for which divisibility fails.

Therefore, the correct answer is C.

1980 AMC 12 第 28 题

答案：C

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题