Question

求方程 $\tan^2x-9\tan x+1=0$ 在 $x=0$ 与 $x=2\pi$ 弧度之间的所有根之和。

Find the sum of the roots of $\tan^2x-9\tan x+1=0$ that are between $x=0$ and $x=2\pi$ radians.

$\frac\pi2$

$\pi$

$\frac{3\pi}2$

$3\pi$

$4\pi$

答案：D

知识点：二次方程三角学代数变形

难度评级：2260

小提示：

设关于 $\tan x$ 的两个正根为 $r$ 和 $s$

Let the two positive roots in $\tan x$ be $r$ and $s$

大提示：

利用 $rs=1$ 求出 $\arctan r+\arctan s$ ，再计入正切函数的周期

Use $rs=1$ to relate $\arctan r+\arctan s,$ then include the period of tangent

解答：

方程 $t^2-9t+1=0$ 的两个根 $r,s$ 都是正数，并且满足 $rs=1$ 。因此，它们的锐角反正切之和为 $\frac{\pi}{2}$ 。在 $0$ 与 $2\pi$ 之间，每个正切值都出现两次，第二次比第一次增加 $\pi$ 。全部四个根之和为 $2\left(\frac\pi2\right)+2\pi=3\pi\text{。}$

所以正确答案是 D。

The two roots $r,s$ of $t^2-9t+1=0$ are positive and satisfy $rs=1.$ Therefore their acute arctangents add to $\frac{\pi}{2}.$ Each tangent value occurs twice between $0$ and $2\pi,$ with the second occurrence shifted by $\pi.$ The sum of all four roots is $2\left(\frac\pi2\right)+2\pi=3\pi.$

Thus the correct answer is D.

1989 AMC 12 第 28 题

答案：D

难度评级：2260

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题