Question

黑板上写有一组从 $1$ 开始的连续正整数。擦去其中一个数后，其余各数的平均数（算术平均值）为 $35\frac7{17}$ 。擦去的是哪个数？

A set of consecutive positive integers beginning with $1$ is written on a blackboard. One number is erased. The average (arithmetic mean) of the remaining numbers is $35\frac7{17}.$ What number was erased?

$6$

$7$

$8$

$9$

无法确定

can not be determined

答案：B

知识点：平均数等差数列整除性

难度评级：2040

小提示：

若写出的最大数为 $n$ ，则剩余数的个数为 $n-1$

If the last written number is $n,$ the remaining count is $n-1$

大提示：

利用被擦去的数满足 $1\le e\le n$ ，缩小 $n$ 的可能取值范围

Use the bounds $1\le e\le n$ on the erased value to narrow the possible values of $n$

解答：

新的平均数 $\frac{602}{17}$ 小于原平均数 $\frac{n+1}{2}$ ，但两者之差小于 $\frac{n}{n-1}$ ，因而 $n=69$ 或 $70$ 。又因为剩余各数之和 $(n-1)(\frac{602}{17})$ 必须为整数，所以 $n-1$ 是 $17$ 的倍数，从而 $n=69$ 。擦去的数为 $\begin{aligned} 2415-68\cdot\frac{602}{17} &=2415-2408\\ &=7 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案为 B。

The new average $\frac{602}{17}$ is below the original average $\frac{n+1}{2}$ but differs from it by less than $\frac{n}{n-1},$ forcing $n=69$ or $70.$ Since the remaining sum $(n-1)(\frac{602}{17})$ must be integral, $n-1$ is divisible by $17,$ so $n=69.$ The erased number is $\begin{aligned} 2415-68\cdot\frac{602}{17} &=2415-2408\\ &=7. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

1982 AMC 12 第 28 题

答案：B

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题