Question

令 $g(x)=x^5+x^4+x^3$ ${}+x^2+x+1$ 。多项式 $g(x^{12})$ 除以多项式 $g(x)$ 的余数是什么？

Let $g(x)=x^5+x^4+x^3$ ${}+x^2+x+1.$ What is the remainder when the polynomial $g(x^{12})$ is divided by the polynomial $g(x)?$

$6$

$5-x$

$4-x+x^2$

$3-x+x^2-x^3$

$2-x+x^2-x^3+x^4$

答案：A

知识点：多项式单位根

难度评级：2300

小提示：

利用 $(x-1)g(x)=x^6-1$

Use $(x-1)g(x)=x^6-1$

大提示：

在 $g$ 的五个根处计算余式的值，并利用余式的次数上界

Evaluate the remainder at the five roots of $g$ and use its degree bound

解答：

设 $R(x)$ 为余式，则 $\deg R\le4$ 。 $g$ 的五个根 $\alpha$ 满足 $\alpha^6=1$ 且 $\alpha\ne1$ 。因此 $\alpha^{12}=1$ ，并且 $R(\alpha)=g(\alpha^{12})=g(1)=6\text{。}$ 所以次数至多为 $4$ 的多项式 $R(x)-6$ 有五个不同的根。它只能恒为零，因此 $R(x)=6$ 。

因此，正确答案是 A。

Let $R(x)$ be the remainder, so $\deg R\le4.$ The five roots $\alpha$ of $g$ satisfy $\alpha^6=1$ and $\alpha\ne1.$ Hence $\alpha^{12}=1$ and $R(\alpha)=g(\alpha^{12})=g(1)=6.$ Therefore $R(x)-6,$ a polynomial of degree at most $4,$ has five distinct roots. It must be identically zero, so $R(x)=6.$

Therefore, the correct answer is A.

1977 AMC 12 第 28 题

答案：A

难度评级：2300

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题