Question

在一条直线上依次取五个点 $O$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ，且距离 $OA=a$ 、 $OB=b$ 、 $OC=c$ 、 $OD=d$ 。点 $P$ 位于 $B$ 与 $C$ 之间，并满足 $AP:PD=BP:PC$ 。则 $OP$ 等于：

Five points $O,$ $A,$ $B,$ $C,$ $D$ are taken in order on a straight line with distances $OA=a,$ $OB=b,$ $OC=c,$ and $OD=d.$ $P$ is a point on the line between $B$ and $C$ and such that $AP:PD=BP:PC.$ Then $OP$ equals:

$\dfrac{b^2-bc}{a-b+c-d}$

$\dfrac{ac-bd}{a-b+c-d}$

$-\dfrac{bd+ac}{a-b+c-d}$

$\dfrac{bc+ad}{a+b+c+d}$

$\dfrac{ac-bd}{a+b+c+d}$

答案：B

知识点：一次方程比与比例

难度评级：1850

小提示：

令 $p=OP$ 。则 $AP=p-a$ 、 $PD=d-p$ 、 $BP=p-b$ ，且 $PC=c-p$

Write $p=OP.$ Then $AP=p-a,$ $PD=d-p,$ $BP=p-b,$ and $PC=c-p$

大提示：

作上述代入后，对所给比例交叉相乘

Cross-multiply the two given ratios after making those substitutions

解答：

令 $p=OP$ 。所给比例化为 $\frac{p-a}{d-p}=\frac{p-b}{c-p}\text{。}$ 交叉相乘后， $p^2$ 项相消，得到 $p(a-b+c-d)=ac-bd\text{。}$ 因此 $p=\frac{ac-bd}{a-b+c-d}$ 。

因此，正确答案是 B。

Let $p=OP.$ The given ratio becomes $\frac{p-a}{d-p}=\frac{p-b}{c-p}.$ Cross-multiplication cancels the $p^2$ terms and yields $p(a-b+c-d)=ac-bd.$ Therefore $p=\frac{ac-bd}{a-b+c-d}.$

Thus, the correct answer is B.

1966 AMC 12 第 28 题

答案：B

难度评级：1850

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题