Question

考虑所有形如 $x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0$ 的方程，其中 $a_2$ 、 $a_1$ 、 $a_0$ 都是实常数，并且 $|a_i|\le2$ ，其中 $i=0$ 、 $1$ 、 $2$ 。令 $r$ 为至少满足其中一个方程的最大正实数。则

Consider the set of all equations $x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0,$ where $a_2,$ $a_1,$ $a_0$ are real constants and $|a_i|\le2$ for $i=0,$ $1,$ $2.$ Let $r$ be the largest positive real number which satisfies at least one of these equations. Then

$1\le r\lt\frac32$

$\frac32\le r\lt2$

$2\le r\lt\frac52$

$\frac52\le r\lt3$

$3\le r\lt\frac72$

答案：D

知识点：多项式不等式极限情形界定

难度评级：2210

小提示：

对于正数 $x$ ，要把根尽量向右推，各系数应取到其下界

For positive $x,$ the coefficients that push a root farthest right take their lower bounds

大提示：

用两个相邻选项的端点夹住 $x^3-2x^2-2x-2$ 的最大根

Bracket the largest root of $x^3-2x^2-2x-2$ at two consecutive choice endpoints

解答：

将一个允许的多项式记为 $g$ 。当 $x\ge0$ 时， $\begin{aligned} g(x)&=x^3+a_2x^2\\ &\quad+a_1x+a_0\\ &\ge f(x) \end{aligned}\text{，}$ 其中 $f(x)=x^3-2x^2-2x-2$ 。因此，任何正根都不会超过最大根 $\rho$ （即 $f$ 的最大根）。取 $a_2=a_1=a_0=-2$ 时 $g=f$ ，所以 $\rho$ 本身可以取到。由于 $\begin{gathered} f\left(\frac52\right)=-\frac{31}{8}\lt0,\\ f(3)=1\gt0 \end{gathered}\text{，}$ 可得 $\frac{5}{2}\lt\rho\lt3$ 。

所以正确答案是 D。

Write an allowed polynomial as $g.$ For $x\ge0,$ $\begin{aligned} g(x)&=x^3+a_2x^2\\ &\quad+a_1x+a_0\\ &\ge f(x), \end{aligned}$ where $f(x)=x^3-2x^2-2x-2.$ Thus no positive root can exceed the largest root $\rho$ of $f.$ Taking $a_2=a_1=a_0=-2$ gives $g=f,$ so $\rho$ itself is attained. Since $\begin{gathered} f\left(\frac52\right)=-\frac{31}{8}\lt0,\\ f(3)=1\gt0, \end{gathered}$ we have $\frac{5}{2}\lt\rho\lt3.$

Therefore, the correct answer is D.

1981 AMC 12 第 28 题

答案：D

难度评级：2210

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题