Question

将 $2137^{753}$ 完全乘开后，所得乘积的个位数字为：

If $2137^{753}$ is multiplied out, the units’ digit in the final product is:

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

只需考虑底数的个位数字

Only the units digit of the base matters

列出 $7$ 的幂模 $10$ 的四项循环

List the four-term cycle of powers of $7$ modulo $10$

$7$ 的各次幂个位数字按 $7$ 、 $9$ 、 $3$ 、 $1$ 循环，周期为 $4$ 。由于 $753\equiv1\pmod4$ ， $2137^{753}$ 的个位数字为 $7$ 。

因此，正确答案是 D。

Powers of $7$ have units digits $7,$ $9,$ $3,$ $1$ in a cycle of length $4.$ Since $753\equiv1\pmod4,$ the units digit of $2137^{753}$ is $7.$

Therefore, the correct answer is D.