Question

给定边数不同的两个等角多边形 $P_1$ 和 $P_2$ ； $P_1$ 的每个角为 $x$ 度， $P_2$ 的每个角为 $kx$ 度，其中 $k$ 是大于 $1$ 的整数。数对 $(x,k)$ 的可能个数为：

Given two equiangular polygons $P_1$ and $P_2$ with different numbers of sides; each angle of $P_1$ is $x$ degrees and each angle of $P_2$ is $kx$ degrees, where $k$ is an integer greater than $1.$ The number of possibilities for the pair $(x,k)$ is:

无穷多个

infinite

有限个，但多于两个

finite, but greater than two

两个

two

一个

one

零个

zero

答案：D

知识点：等角多边形角度和不等式

难度评级：1710

小提示：

等角 $n$ 边形的每个角为 $180^\circ-\frac{360^\circ}{n}$

An equiangular $n$ -gon has angle $180^\circ-\frac{360^\circ}{n}$

大提示：

用 $kx<180^\circ$ 和 $k\ge2$ 限制较小的角 $x$

Use $kx<180^\circ$ and $k\ge2$ to constrain the smaller angle $x$

解答：

每个多边形内角至少为 $60^\circ$ ，每个凸多边形内角小于 $180^\circ$ 。由于 $k\ge2$ 且 $kx<180^\circ$ ，必须有 $x<90^\circ$ 。区间 $[60^\circ,90^\circ)$ 内唯一可能的等角多边形内角是三角形的 $x=60^\circ$ 。此时 $k=2$ 给出 $kx=120^\circ$ ，即正六边形的内角；更大的 $k$ 不可能。因此只有一对。

所以，正确答案是 D。

Every polygon angle is at least $60^\circ,$ and every convex polygon angle is less than $180^\circ.$ Since $k\ge2$ and $kx<180^\circ,$ we need $x<90^\circ.$ The only possible equiangular polygon angle in $[60^\circ,90^\circ)$ is the triangle angle $x=60^\circ.$ Then $k=2$ gives $kx=120^\circ,$ the angle of a regular hexagon; larger $k$ is impossible. Hence there is one pair.

Thus, the correct answer is D.

1961 AMC 12 第 27 题

答案：D

难度评级：1710

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 27 题