Question

汽车 $A$ 与 $B$ 行驶相同的路程。汽车 $A$ 以每小时 $u$ 英里的速度行驶一半路程，以每小时 $v$ 英里的速度行驶另一半。汽车 $B$ 以每小时 $u$ 英里的速度行驶一半时间，以每小时 $v$ 英里的速度行驶另一半。汽车 $A$ 的平均速度为每小时 $x$ 英里，汽车 $B$ 的平均速度为每小时 $y$ 英里。则恒有

Cars $A$ and $B$ travel the same distance. Car $A$ travels half that distance at $u$ miles per hour and half at $v$ miles per hour. Car $B$ travels half the time at $u$ miles per hour and half at $v$ miles per hour. The average speed of Car $A$ is $x$ miles per hour and that of Car $B$ is $y$ miles per hour. Then we always have

$x\le y$

$x\ge y$

$x=y$

$x\lt y$

$x\gt y$

答案：A

知识点：调和平均数不等式代数变形

难度评级：1800

小提示：

汽车 $A$ 的平均速度是 $u$ 与 $v$ 的调和平均数，而汽车 $B$ 的平均速度是它们的算术平均数

Car $A$ ’s average is the harmonic mean of $u$ and $v,$ while Car $B$ ’s is their arithmetic mean

大提示：

将两个平均数相减，并把分子因式分解为平方

Subtract the two means and factor the numerator as a square

解答：

汽车 $A$ 的等距离平均速度与汽车 $B$ 的等时间平均速度分别为 $x=\frac{2uv}{u+v}, \qquad y=\frac{u+v}{2}\text{。}$ 两者之差为 $\begin{aligned} y-x &=\frac{(u+v)^2-4uv}{2(u+v)}\\ &=\frac{(u-v)^2}{2(u+v)}\\ &\ge0 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $x\le y$ ，当 $u=v$ 时可取等号。

所以正确答案是 A。

Car $A$ ’s equal-distance average and Car $B$ ’s equal-time average are $x=\frac{2uv}{u+v}, \qquad y=\frac{u+v}{2}.$ Their difference is $\begin{aligned} y-x &=\frac{(u+v)^2-4uv}{2(u+v)}\\ &=\frac{(u-v)^2}{2(u+v)}\\ &\ge0. \end{aligned}$ Thus $x\le y,$ with equality possible when $u=v.$

Therefore, the correct answer is A.

1973 AMC 12 第 27 题

答案：A

难度评级：1800

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 27 题