Question

若 $\begin{aligned} x+\sqrt{x^2-1} &+\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}\\ &=20 \end{aligned}\text{，}$ 则 $\begin{aligned} x^2+\sqrt{x^4-1} &+\frac1{x^2+\sqrt{x^4-1}}\\ &= \end{aligned}$

If $\begin{aligned} x+\sqrt{x^2-1} &+\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}\\ &=20, \end{aligned}$ then $\begin{aligned} x^2+\sqrt{x^4-1} &+\frac1{x^2+\sqrt{x^4-1}}\\ &= \end{aligned}$

$5.05$

$20$

$51.005$

$61.25$

$400$

答案：C

知识点：conjugate radicals reciprocal algebraic identity

难度评级：2110

小提示：

有理化 $\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}$

Rationalize $\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}$

大提示：

所求式的后两项互为共轭式

The last two terms of the requested expression are conjugates

解答：

因为 $\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}=x+\sqrt{x^2-1}\text{，}$ 已知方程给出 $x+\sqrt{x^2-1}=10$ 。其倒数为 $x-\sqrt{x^2-1}=\frac{1}{10}$ ，相加得到 $2x=10.1$ ，所以 $x=5.05$ 。另外， $\frac1{x^2+\sqrt{x^4-1}}=x^2-\sqrt{x^4-1}\text{。}$ 因此所求式为 $2x^2=2(5.05)^2=51.005$ 。

因此正确答案为 C。

Because $\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}=x+\sqrt{x^2-1},$ the given equation implies $x+\sqrt{x^2-1}=10.$ Its reciprocal is $x-\sqrt{x^2-1}=\frac{1}{10},$ so adding yields $2x=10.1$ and $x=5.05.$ Also $\frac1{x^2+\sqrt{x^4-1}}=x^2-\sqrt{x^4-1}.$ Therefore the requested expression is $2x^2=2(5.05)^2=51.005.$

Thus the correct answer is C.

1991 AMC 12 第 27 题

答案：C

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 27 题