Question

$\triangle ABC$ 的三边长为 $6$ 、 $8$ 和 $10$ 。一个圆心为 $P$ 、半径为 $1$ 的圆沿 $\triangle ABC$ 内部滚动，并始终与三角形至少一条边相切。当 $P$ 第一次回到原位置时， $P$ 走过了多长的距离？

The sides of $\triangle ABC$ have lengths $6,$ $8$ and $10.$ A circle with center $P$ and radius $1$ rolls around the inside of $\triangle ABC,$ always remaining tangent to at least one side of the triangle. When $P$ first returns to its original position, through what distance has $P$ traveled?

$10$

$12$

$14$

$15$

$17$

答案：B

知识点：inner parallel triangle angle bisectors 直角三角形

难度评级：2170

小提示：

圆心描出一个较小的三角形，其三边分别平行于原三角形的三边。

The center traces a smaller triangle whose sides are parallel to the original sides

大提示：

原 $6$ - $8$ - $10$ 三角形的内切圆半径为 $2$ ，而圆心轨迹三角形的内切圆半径为 $1$ 。

The original $6$ - $8$ - $10$ triangle has inradius $2,$ while the center’s path has inradius $1$

解答：

圆心 $P$ 始终与所接触的边相距一个单位，因此它的轨迹是三条向内平移 $1$ 个单位的平行线所围成的三角形。这个三角形与 $\triangle ABC$ 相似。原直角三角形的面积为 $24$ ，半周长为 $12$ ，所以内切圆半径为 $\frac{24}{12}=2$ 。轨迹三角形的内切圆半径为 $2-1=1$ ，因此线性缩放比例为 $\frac{1}{2}$ 。它的周长，也就是所走距离，为 $\frac12(6+8+10)=12\text{。}$ 故正确答案是 B。

The center $P$ remains one unit from the side it touches, so its path is the triangle formed by the three inward parallel lines at distance $1.$ This triangle is similar to $\triangle ABC.$ The original right triangle has area $24$ and semiperimeter $12,$ hence inradius $\frac{24}{12}=2.$ The path triangle has inradius $2-1=1,$ so its linear scale is $\frac{1}{2}.$ Its perimeter, and therefore the distance traveled, is $\frac12(6+8+10)=12.$ Thus the correct answer is B.

1993 AMC 12 第 27 题

答案：B

难度评级：2170

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 27 题