Question

若 $\begin{aligned} N&=\frac{\sqrt{\sqrt5+2}+\sqrt{\sqrt5-2}} {\sqrt{\sqrt5+1}}\\ &\quad-\sqrt{3-2\sqrt2} \end{aligned}\text{，}$ 则 $N$ 等于

If $\begin{aligned} N&=\frac{\sqrt{\sqrt5+2}+\sqrt{\sqrt5-2}} {\sqrt{\sqrt5+1}}\\ &\quad-\sqrt{3-2\sqrt2}, \end{aligned}$ then $N$ equals

$1$

$2\sqrt2-1$

$\frac{\sqrt5}{2}$

$\sqrt{\frac52}$

以上都不是

none of these

答案：A

知识点：根式分母有理化代数变形

难度评级：2080

小提示：

先把大分数的分子平方，再进行化简

Square the numerator of the large fraction before simplifying it

大提示：

识别出 $3-2\sqrt2$ 是 $(\sqrt2-1)^2$

Recognize $3-2\sqrt2$ as $(\sqrt2-1)^2$

解答：

设 $T$ 为第一个分数。它的分子平方为 $\begin{aligned} &(\sqrt5+2)+(\sqrt5-2)\\ &\quad+2\sqrt{(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)}\\ &=2\sqrt5+2 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $T^2=\frac{2\sqrt5+2}{\sqrt5+1}=2$ ，且 $T=\sqrt2$ 。另外， $\sqrt{3-2\sqrt2}=\sqrt2-1$ 。所以 $N=\sqrt2-(\sqrt2-1)=1$ 。

所以正确答案是 A。

Let $T$ be the first fraction. Its numerator squared is $\begin{aligned} &(\sqrt5+2)+(\sqrt5-2)\\ &\quad+2\sqrt{(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)}\\ &=2\sqrt5+2. \end{aligned}$ Thus $T^2=\frac{2\sqrt5+2}{\sqrt5+1}=2,$ and $T=\sqrt2.$ Also $\sqrt{3-2\sqrt2}=\sqrt2-1.$ Hence $N=\sqrt2-(\sqrt2-1)=1.$

Therefore, the correct answer is A.

1976 AMC 12 第 27 题

答案：A

难度评级：2080

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 27 题