Question

若 $f(x)=3x+2$ 对所有实数 $x$ 都成立，则命题：

“ $|f(x)+4|\lt a$ 在 $|x+2|\lt b$ 、 $a\gt0$ 且 $b\gt0$ 时恒成立”

在下列何种条件下成立？

If $f(x)=3x+2$ for all real $x,$ then the statement:

“ $|f(x)+4|\lt a$ whenever $|x+2|\lt b$ and $a\gt0$ and $b\gt0$ ”

is true when

$b\le \frac{a}{3}$

$b\gt \frac{a}{3}$

$a\le \frac{b}{3}$

$a\gt \frac{b}{3}$

该命题永不成立。

The statement is never true.

答案：A

知识点：绝对值函数不等式

难度评级：1670

小提示：

将 $f(x)+4$ 用 $x+2$ 表示并因式分解

Factor $f(x)+4$ in terms of $x+2$

大提示：

条件变为 $3|x+2|\lt a$ ，且该式在 $|x+2|\lt b$ 时恒成立

The condition becomes $3|x+2|\lt a$ whenever $|x+2|\lt b$

解答：

有 $|f(x)+4|=|3x+6|=3|x+2|\text{。}$ 若 $|x+2|\lt b$ ，且 $b\le \frac{a}{3}$ ，则 $3|x+2|\lt3b\le a$ ，符合要求。若 $b\gt \frac{a}{3}$ ，则可选取 $|x+2|$ ，使它严格介于 $\frac{a}{3}$ 与 $b$ 之间，命题便不成立。因此，确切条件是 $b\le \frac{a}{3}$ 。

因此，正确答案是 A。

We have $|f(x)+4|=|3x+6|=3|x+2|.$ If $|x+2|\lt b$ and $b\le \frac{a}{3},$ then $3|x+2|\lt3b\le a,$ as required. If $b\gt \frac{a}{3},$ one can choose $|x+2|$ strictly between $\frac{a}{3}$ and $b,$ so the statement fails. Thus the exact condition is $b\le \frac{a}{3}.$

Therefore, the correct answer is A.

1974 AMC 12 第 27 题

答案：A

难度评级：1670

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 27 题