Question

设多边形 $P$ 的内角和为 $S$ ，且每个内角都是同一顶点处外角的 $7\dfrac12$ 倍。则：

Let $S$ be the sum of the interior angles of a polygon $P$ for which each interior angle is $7\dfrac12$ times the exterior angle at the same vertex. Then:

$S=2660^\circ$ ，且 $P$ 可能是正多边形

$S=2660^\circ$ and $P$ may be regular

$S=2660^\circ$ ，且 $P$ 不是正多边形

$S=2660^\circ$ and $P$ is not regular

$S=2700^\circ$ ，且 $P$ 是正多边形

$S=2700^\circ$ and $P$ is regular

$S=2700^\circ$ ，且 $P$ 不是正多边形

$S=2700^\circ$ and $P$ is not regular

$S=2700^\circ$ ，且 $P$ 可能是正多边形，也可能不是

$S=2700^\circ$ and $P$ may or may not be regular

答案：E

知识点：角度和等角多边形正多边形

难度评级：1500

小提示：

一个内角与其对应外角之和为 $180^\circ$

An interior angle and its corresponding exterior angle sum to $180^\circ$

大提示：

该条件确定了每个角，却没有限制各边长

The condition fixes every angle but says nothing about the side lengths

解答：

若一个外角为 $e$ ，则 $e+\frac{15}{2}e=180^\circ\text{，}$ 所以 $e=\frac{360^\circ}{17}$ 。由于外角和为 $360^\circ$ ，多边形有 $17$ 个顶点，并且 $S=(17-2)180^\circ=2700^\circ\text{。}$ 它的所有角都相等，但各边不一定相等，所以它可能是正多边形，也可能不是。

因此，正确答案是 E。

If an exterior angle is $e,$ then $e+\frac{15}{2}e=180^\circ,$ so $e=\frac{360^\circ}{17}.$ Since the exterior angles total $360^\circ,$ the polygon has $17$ vertices and $S=(17-2)180^\circ=2700^\circ.$ All its angles are equal, but its sides need not be equal, so it may or may not be regular.

Thus, the correct answer is E.

1960 AMC 12 第 27 题

答案：E

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 27 题