Question

考虑所有对任意实数 $x$ 都满足 $f(x+4)+f(x-4)=f(x)$ 的函数 $f$ 。每个这样的函数都是周期函数，并且存在一个它们共有的最小正周期 $p$ 。求 $p$ 。

Consider those functions $f$ that satisfy $f(x+4)+f(x-4)=f(x)$ for all real $x.$ Any such function is periodic, and there is a least common positive period $p$ for all of them. Find $p.$

$8$

$12$

$16$

$24$

$32$

答案：D

知识点：functional equations recurrences periodicity

难度评级：2180

小提示：

固定 $x$ ，研究数列 $u_n=f(x+4n)$

For fixed $x$ , study the sequence $u_n=f(x+4n)$

大提示：

反复使用 $u_{n+1}+u_{n-1}=u_n$ ，找出任意初始二元组何时恢复原状

Use $u_{n+1}+u_{n-1}=u_n$ repeatedly to find when every initial pair returns

解答：

对 $u_n=f(x+4n)$ ，原方程化为 $u_{n+1}=u_n-u_{n-1}$ 。从 $u_0,u_1$ 出发，数列依次为 $\begin{gathered} u_0,u_1,u_1-u_0,-u_0,\\ -u_1,u_0-u_1,u_0,u_1,\ldots \end{gathered}\text{，}$ 因此每个这样的函数都有周期 $6\cdot4=24$ 。又因为 $f(x)=\sin(\frac{\pi x}{12})$ 满足原方程且最小正周期为 $24$ ，所以这个公周期不能再小。故正确答案是 D。

For $u_n=f(x+4n),$ the equation is $u_{n+1}=u_n-u_{n-1}.$ Starting from $u_0,u_1,$ the sequence is $\begin{gathered} u_0,u_1,u_1-u_0,-u_0,\\ -u_1,u_0-u_1,u_0,u_1,\ldots, \end{gathered}$ so every such function has period $6\cdot4=24.$ This is least because $f(x)=\sin(\frac{\pi x}{12})$ satisfies the equation and has fundamental period $24.$ Hence D is correct.

1997 AMC 12 第 27 题

答案：D

难度评级：2180

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 27 题