Question

一个半径为 $r$ 的圆有长为 $10$ 的弦 $\overline{AB}$ 和长为 $7$ 的弦 $\overline{CD}$ 。分别沿经过 $B$ 和 $C$ 的方向延长 $\overline{AB}$ 与 $\overline{CD}$ ，它们在圆外的点 $P$ 相交。若 $\angle APD=60^\circ$ 且 $BP=8$ ，则 $r^2=$

A circle of radius $r$ has chords $\overline{AB}$ of length $10$ and $\overline{CD}$ of length $7.$ When $\overline{AB}$ and $\overline{CD}$ are extended through $B$ and $C,$ respectively, they intersect at $P,$ which is outside the circle. If $\angle APD=60^\circ$ and $BP=8,$ then $r^2=$

$70$

$71$

$72$

$73$

$74$

答案：D

知识点：圆幂 secants 直角三角形 circle diameter

难度评级：2330

小提示：

使用割线定理求 $PC$ 和 $PD$

Apply the secant-secant theorem to find $PC$ and $PD$

大提示：

得到 $PA=18$ 、 $PC=9$ 和 $\angle APC=60^\circ$ 后，找出一个 $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ 三角形

Once $PA=18,$ $PC=9,$ and $\angle APC=60^\circ,$ identify a $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle

解答：

由点 $P$ 的幂可得 $PA\cdot PB=PC\cdot PD\text{。}$ 这里 $PA=18$ 、 $PB=8$ ，且 $PD=PC+7$ ，所以 $PC(PC+7)=144$ 。因此 $PC=9$ 、 $PD=16$ 。由于 $PA=2PC$ 且 $\angle APC=60^\circ$ ，三角形 $APC$ 在 $C$ 处为直角，并且 $AC=9\sqrt3$ 。所以 $AD$ 是直径，且 $\begin{aligned} (2r)^2&=AD^2=AC^2+CD^2\\ &=243+49=292 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $r^2=73$ 。

因此正确答案是 D。

Power of $P$ gives $PA\cdot PB=PC\cdot PD.$ Here $PA=18,$ $PB=8,$ and $PD=PC+7,$ so $PC(PC+7)=144.$ Thus $PC=9$ and $PD=16.$ Since $PA=2PC$ and $\angle APC=60^\circ,$ triangle $APC$ is right at $C,$ with $AC=9\sqrt3.$ Therefore $AD$ is a diameter, and $\begin{aligned} (2r)^2&=AD^2=AC^2+CD^2\\ &=243+49=292. \end{aligned}$ Hence $r^2=73.$

Thus the correct answer is D.

1992 AMC 12 第 27 题

答案：D

难度评级：2330

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 27 题