Question

Un círculo de radio $r$ tiene cuerdas $\overline{AB}$ de longitud $10$ y $\overline{CD}$ de longitud $7.$ Al prolongar $\overline{AB}$ más allá de $B$ y $\overline{CD}$ más allá de $C,$ se cortan en un punto $P$ exterior al círculo. Si $\angle APD=60^\circ$ y $BP=8,$ entonces $r^2=$

A circle of radius $r$ has chords $\overline{AB}$ of length $10$ and $\overline{CD}$ of length $7.$ When $\overline{AB}$ and $\overline{CD}$ are extended through $B$ and $C,$ respectively, they intersect at $P,$ which is outside the circle. If $\angle APD=60^\circ$ and $BP=8,$ then $r^2=$

$70$

$71$

$72$

$73$

$74$

Respuesta: D

Conceptos:potencia de un punto secants triángulo rectángulo circle diameter

Nivel de dificultad: 2330

Pista pequeña:

Aplica el teorema de las dos secantes para hallar $PC$ y $PD$

Apply the secant-secant theorem to find $PC$ and $PD$

Pista grande:

Una vez que tengas $PA=18,$ $PC=9,$ y $\angle APC=60^\circ,$ identifica un triángulo de $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$

Once $PA=18,$ $PC=9,$ and $\angle APC=60^\circ,$ identify a $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle

Solución:

La potencia de $P$ da $PA\cdot PB=PC\cdot PD.$ Aquí $PA=18,$ $PB=8,$ y $PD=PC+7,$ así que $PC(PC+7)=144.$ Por tanto, $PC=9$ y $PD=16.$ Como $PA=2PC$ y $\angle APC=60^\circ,$ el triángulo $APC$ es rectángulo en $C,$ con $AC=9\sqrt3.$ Por tanto, $AD$ es un diámetro, y $\begin{aligned} (2r)^2&=AD^2=AC^2+CD^2\\ &=243+49=292. \end{aligned}$ De aquí, $r^2=73.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Power of $P$ gives $PA\cdot PB=PC\cdot PD.$ Here $PA=18,$ $PB=8,$ and $PD=PC+7,$ so $PC(PC+7)=144.$ Thus $PC=9$ and $PD=16.$ Since $PA=2PC$ and $\angle APC=60^\circ,$ triangle $APC$ is right at $C,$ with $AC=9\sqrt3.$ Therefore $AD$ is a diameter, and $\begin{aligned} (2r)^2&=AD^2=AC^2+CD^2\\ &=243+49=292. \end{aligned}$ Hence $r^2=73.$

Thus the correct answer is D.

1992 AMC 12 Problema 27

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2330

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 27 en otros años