Question

Si $x$ es real y $|x-4|+|x-3|\lt a,$ donde $a\gt0,$ entonces:

If $x$ is a real number and $|x-4|+|x-3|\lt a,$ where $a\gt0,$ then:

$0\lt a\lt0.01$

$0.01\lt a\lt1$

$0\lt a\lt1$

$0\lt a\leq1$

$a\gt1$

Respuesta: E

Conceptos:valor absoluto desigualdad triangular desigualdad

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Interpreta la suma como las distancias de $x$ a $3$ y $4$

Interpret the sum as the distances from $x$ to $3$ and $4$

Pista grande:

Halla su mínimo para $3\leq x\leq4$ , recordando que la desigualdad es estricta

Find its minimum for $3\leq x\leq4$ , remembering the inequality is strict

Solución:

Por la desigualdad triangular, $|x-4|+|x-3|\geq|4-3|=1.$ La igualdad se cumple para todo $x$ entre $3$ y $4.$ Por tanto, la desigualdad estricta tiene una solución real exactamente cuando $a\gt1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

By the triangle inequality, $|x-4|+|x-3|\geq|4-3|=1.$ Equality holds for every $x$ between $3$ and $4.$ Therefore the strict inequality has a real solution exactly when $a\gt1.$

Thus, the correct answer is E.

1964 AMC 12 Problema 27

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 27 en otros años