Question

Sea $n$ un entero positivo. Si la ecuación $2x+2y+z=n$ tiene $28$ soluciones en enteros positivos $x,$ $y$ y $z,$ entonces $n$ debe ser

Let $n$ be a positive integer. If the equation $2x+2y+z=n$ has $28$ solutions in positive integers $x,$ $y$ and $z,$ then $n$ must be either

$14$ o $15$

$14$ or $15$

$15$ o $16$

$15$ or $16$

$16$ o $17$

$16$ or $17$

$17$ o $18$

$17$ or $18$

$18$ o $19$

$18$ or $19$

Respuesta: D

Conceptos:Ecuación diofántica sumatoria conteo de pares

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Agrupa las soluciones según $s=x+y$

Group solutions according to $s=x+y$

Pista grande:

Para un $s$ fijo, cuenta los pares ordenados positivos $(x,y)$ y exige que $n-2s\ge1$

For fixed $s,$ count the positive ordered pairs $(x,y)$ and require $n-2s\ge1$

Solución:

Para $s=x+y\ge2,$ hay $s-1$ pares ordenados positivos $(x,y),$ y $z=n-2s$ es positivo cuando $s\le\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor.$ Si escribimos $m=\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor,$ el número de soluciones es $\sum_{s=2}^{m}(s-1)=\frac{m(m-1)}2.$ Al igualarlo a $28$ se obtiene $m=8.$ Por tanto, $\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor=8,$ así que $n=17$ o $18.$

Por tanto, la respuesta correcta es D.

For $s=x+y\ge2,$ there are $s-1$ positive ordered pairs $(x,y),$ and $z=n-2s$ is positive when $s\le\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor.$ Writing $m=\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor,$ the number of solutions is $\sum_{s=2}^{m}(s-1)=\frac{m(m-1)}2.$ Setting this equal to $28$ gives $m=8.$ Hence $\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor=8,$ so $n=17$ or $18.$

Thus the correct answer is D.

1989 AMC 12 Problema 27

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 27 en otros años