Question

Si $\begin{aligned} x+\sqrt{x^2-1} &+\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}\\ &=20, \end{aligned}$ entonces $\begin{aligned} x^2+\sqrt{x^4-1} &+\frac1{x^2+\sqrt{x^4-1}}\\ &= \end{aligned}$

If $\begin{aligned} x+\sqrt{x^2-1} &+\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}\\ &=20, \end{aligned}$ then $\begin{aligned} x^2+\sqrt{x^4-1} &+\frac1{x^2+\sqrt{x^4-1}}\\ &= \end{aligned}$

$5.05$

$20$

$51.005$

$61.25$

$400$

Respuesta: C

Conceptos:conjugate radicals reciprocal algebraic identity

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Racionaliza $\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}$

Rationalize $\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}$

Pista grande:

Los últimos dos términos de la expresión solicitada son conjugados

The last two terms of the requested expression are conjugates

Solución:

Como $\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}=x+\sqrt{x^2-1},$ la ecuación dada implica $x+\sqrt{x^2-1}=10.$ Su recíproco es $x-\sqrt{x^2-1}=\frac{1}{10},$ por lo que al sumar obtenemos $2x=10.1$ y $x=5.05.$ Además, $\frac1{x^2+\sqrt{x^4-1}}=x^2-\sqrt{x^4-1}.$ Por lo tanto, la expresión solicitada es $2x^2=2(5.05)^2=51.005.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because $\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}=x+\sqrt{x^2-1},$ the given equation implies $x+\sqrt{x^2-1}=10.$ Its reciprocal is $x-\sqrt{x^2-1}=\frac{1}{10},$ so adding yields $2x=10.1$ and $x=5.05.$ Also $\frac1{x^2+\sqrt{x^4-1}}=x^2-\sqrt{x^4-1}.$ Therefore the requested expression is $2x^2=2(5.05)^2=51.005.$

Thus the correct answer is C.

1991 AMC 12 Problema 27

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 27 en otros años