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1981 AMC 12 Problema 27

Intenta el Problema 27 del 1981 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1981 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

27.

En la figura adjunta, el triángulo ABCABC está inscrito en un círculo. El punto DD está en AC⌢\overset{\frown}{AC}, con DC⌢=30∘,\overset{\frown}{DC}=30^\circ, y el punto GG está en BA⌢\overset{\frown}{BA}, con BG⌢>GA⌢.\overset{\frown}{BG}\gt\overset{\frown}{GA}. Los lados ABAB y ACAC tienen cada uno la misma longitud que la cuerda DG,DG, y ∠CAB=30∘.\angle CAB=30^\circ. La cuerda DGDG corta los lados ACAC y ABAB en EE y F,F, respectivamente. La razón entre el área de △AFE\triangle AFE y el área de △ABC\triangle ABC es

In the adjoining figure triangle ABCABC is inscribed in a circle. Point DD lies on AC⌢\overset{\frown}{AC} with DC⌢=30∘,\overset{\frown}{DC}=30^\circ, and point GG lies on BA⌢\overset{\frown}{BA} with BG⌢>GA⌢.\overset{\frown}{BG}\gt\overset{\frown}{GA}. Side ABAB and side ACAC each have length equal to the length of chord DG,DG, and ∠CAB=30∘.\angle CAB=30^\circ. Chord DGDG intersects sides ACAC and ABAB at EE and F,F, respectively. The ratio of the area of △AFE\triangle AFE to the area of △ABC\triangle ABC is

2−33\frac{2-\sqrt3}{3}

23−33\frac{2\sqrt3-3}{3}

73−127\sqrt3-12

33−53\sqrt3-5

9−533\frac{9-5\sqrt3}{3}

Respuesta: C
Conceptos:arcocuerdarazón de áreas
Nivel de dificultad: 2260
Pista pequeña:

Usa las cuerdas iguales para identificar los arcos iguales pertinentes y los triángulos isósceles

Use equal chords to identify the relevant equal arcs and isosceles triangles

Pista grande:

Normaliza AB=AC=DG=1AB=AC=DG=1 y halla AEAE mediante un triángulo 30∘30^\circ-60∘60^\circ-90∘90^\circ

Normalize AB=AC=DG=1AB=AC=DG=1 and find AEAE from a 30∘30^\circ-60∘60^\circ-90∘90^\circ triangle

Solución:

Ajusta la escala para que AB=AC=DG=1.AB=AC=DG=1. Las relaciones entre arcos correspondientes a cuerdas iguales muestran que el triángulo DECDEC es un triángulo 30∘30^\circ-60∘60^\circ-90∘90^\circ y que AE=DE.AE=DE. Sea AE=DE=x.AE=DE=x. Entonces CE=1−x=2x3,CE=1-x=\frac{2x}{\sqrt3}, por lo que x=23−3.x=2\sqrt3-3. Las cuerdas iguales también dan AF=FG=EF=1−x2.AF=FG=EF=\frac{1-x}{2}. Por tanto, [AFE][ABC]=x(1−x)2=73−12. \begin{aligned} \frac{[AFE]}{[ABC]} &=\frac{x(1-x)}2\\ &=7\sqrt3-12. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Scale so AB=AC=DG=1.AB=AC=DG=1. The equal-chord arc relations show that triangle DECDEC is 30∘30^\circ-60∘60^\circ-90∘90^\circ and AE=DE.AE=DE. Put AE=DE=x.AE=DE=x. Then CE=1−x=2x3,CE=1-x=\frac{2x}{\sqrt3}, so x=23−3.x=2\sqrt3-3. Equal chords also give AF=FG=EF=1−x2.AF=FG=EF=\frac{1-x}{2}. Hence [AFE][ABC]=x(1−x)2=73−12. \begin{aligned} \frac{[AFE]}{[ABC]} &=\frac{x(1-x)}2\\ &=7\sqrt3-12. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is C.

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