Question

En $\triangle ABC,$ $D$ está en $AC$ y $F$ está en $BC.$ Además, $AB\perp AC,$ $AF\perp BC,$ y $BD=DC=FC=1.$ Halla $AC.$

In $\triangle ABC,$ $D$ is on $AC$ and $F$ is on $BC.$ Also, $AB\perp AC,$ $AF\perp BC,$ and $BD=DC=FC=1.$ Find $AC.$

$\sqrt2$

$\sqrt3$

$\sqrt[3]{2}$

$\sqrt[3]{3}$

$\sqrt[4]{3}$

Respuesta: C

Conceptos:triángulo rectángulo semejanza ley de los cosenos

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Sea $AC=s$ y usa la relación de semejanza entre la altura y la hipotenusa

Let $AC=s$ and use the altitude-to-hypotenuse similarity relation

Pista grande:

Después compara $\cos\angle ACB$ en el triángulo rectángulo $ABC$ y el triángulo isósceles $BDC$

Then compare $\cos\angle ACB$ in right triangle $ABC$ and isosceles triangle $BDC$

Solución:

Sea $AC=s.$ La relación de proyección en el triángulo rectángulo da $AC^2=FC\cdot BC,$ por lo que $BC=s^2.$ Como $BD=DC=1,$ el numerador y el denominador de la ley de cosenos satisfacen $\begin{aligned} BC^2+DC^2-BD^2&=s^4,\\ 2(BC)(DC)&=2s^2. \end{aligned}$ Por tanto, $\cos\angle BCD=\frac{s^2}{2}.$ Pero $D$ está en $AC,$ y en el triángulo rectángulo $ABC,$ $\cos\angle BCA=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{s}.$ Así, $\frac{s^2}{2}=\frac{1}{s},$ de modo que $s^3=2$ y $AC=\sqrt[3]{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $AC=s.$ The right-triangle projection relation gives $AC^2=FC\cdot BC,$ so $BC=s^2.$ Since $BD=DC=1,$ the numerator and denominator in the Law of Cosines satisfy $\begin{aligned} BC^2+DC^2-BD^2&=s^4,\\ 2(BC)(DC)&=2s^2. \end{aligned}$ Hence $\cos\angle BCD=\frac{s^2}{2}.$ But $D$ lies on $AC,$ and in right triangle $ABC,$ $\cos\angle BCA=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{s}.$ Thus $\frac{s^2}{2}=\frac{1}{s},$ so $s^3=2$ and $AC=\sqrt[3]{2}.$

Therefore, the correct answer is C.

1984 AMC 12 Problema 27

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 27 en otros años