Question

La razón entre el perímetro de un triángulo equilátero cuya altura es igual al radio de un círculo y el perímetro de un triángulo equilátero inscrito en el círculo es:

The ratio of the perimeter of an equilateral triangle having an altitude equal to the radius of a circle, to the perimeter of an equilateral triangle inscribed in the circle is:

$1:2$

$1:3$

$1:\sqrt3$

$\sqrt3:2$

$2:3$

Respuesta: E

Conceptos:triángulo equilátero círculo razón y proporción

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Expresa el lado de cada triángulo equilátero en función del mismo radio $R$ del círculo

Express each equilateral triangle’s side length in terms of the same circle radius $R$

Pista grande:

Un triángulo equilátero de altura $R$ tiene lado $\frac{2R}{\sqrt3}$ , mientras que uno inscrito tiene lado $\sqrt3R$

An equilateral triangle of altitude $R$ has side $\frac{2R}{\sqrt3}$ , while an inscribed one has side $\sqrt3R$

Solución:

Un triángulo equilátero de lado $s$ tiene altura $\frac{s\sqrt3}{2}.$ Por lo tanto, el primer triángulo tiene lado $\frac{2R}{\sqrt3}$ y perímetro $2\sqrt3R.$ Un triángulo equilátero inscrito en un círculo de radio $R$ tiene lado $\sqrt3R$ y perímetro $3\sqrt3R.$

La razón de los perímetros es, por lo tanto, $2:3,$ así que la respuesta correcta es E.

An equilateral triangle with side $s$ has altitude $\frac{s\sqrt3}{2}.$ Thus the first triangle has side $\frac{2R}{\sqrt3}$ and perimeter $2\sqrt3R.$ An equilateral triangle inscribed in a circle of radius $R$ has side $\sqrt3R$ and perimeter $3\sqrt3R.$

The perimeter ratio is therefore $2:3,$ so the correct answer is E.

1952 AMC 12 Problema 27

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 27 en otros años