Question

Sea $S$ la suma de los ángulos interiores de un polígono $P$ , en el cual cada ángulo interior es $7\dfrac12$ veces el ángulo exterior en el mismo vértice. Entonces:

Let $S$ be the sum of the interior angles of a polygon $P$ for which each interior angle is $7\dfrac12$ times the exterior angle at the same vertex. Then:

$S=2660^\circ$ y $P$ puede ser regular

$S=2660^\circ$ and $P$ may be regular

$S=2660^\circ$ y $P$ no es regular

$S=2660^\circ$ and $P$ is not regular

$S=2700^\circ$ y $P$ es regular

$S=2700^\circ$ and $P$ is regular

$S=2700^\circ$ y $P$ no es regular

$S=2700^\circ$ and $P$ is not regular

$S=2700^\circ$ y $P$ puede ser regular o no serlo

$S=2700^\circ$ and $P$ may or may not be regular

Respuesta: E

Conceptos:suma de ángulos polígono equiángulo polígono regular

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Un ángulo interior y su ángulo exterior correspondiente suman $180^\circ$

An interior angle and its corresponding exterior angle sum to $180^\circ$

Pista grande:

La condición determina todos los ángulos, pero no dice nada sobre las longitudes de los lados

The condition fixes every angle but says nothing about the side lengths

Solución:

Si un ángulo exterior es $e,$ entonces $e+\frac{15}{2}e=180^\circ,$ así que $e=\frac{360^\circ}{17}.$ Como los ángulos exteriores suman $360^\circ,$ el polígono tiene $17$ vértices y $S=(17-2)180^\circ=2700^\circ.$ Todos sus ángulos son iguales, pero sus lados no tienen que serlo, por lo que puede ser regular o no.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If an exterior angle is $e,$ then $e+\frac{15}{2}e=180^\circ,$ so $e=\frac{360^\circ}{17}.$ Since the exterior angles total $360^\circ,$ the polygon has $17$ vertices and $S=(17-2)180^\circ=2700^\circ.$ All its angles are equal, but its sides need not be equal, so it may or may not be regular.

Thus, the correct answer is E.

1960 AMC 12 Problema 27

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 27 en otros años