Question

Si $\begin{aligned} N&=\frac{\sqrt{\sqrt5+2}+\sqrt{\sqrt5-2}} {\sqrt{\sqrt5+1}}\\ &\quad-\sqrt{3-2\sqrt2}, \end{aligned}$ entonces $N$ es igual a

If $\begin{aligned} N&=\frac{\sqrt{\sqrt5+2}+\sqrt{\sqrt5-2}} {\sqrt{\sqrt5+1}}\\ &\quad-\sqrt{3-2\sqrt2}, \end{aligned}$ then $N$ equals

$1$

$2\sqrt2-1$

$\frac{\sqrt5}{2}$

$\sqrt{\frac52}$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: A

Conceptos:radical racionalización del denominador manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

Eleva al cuadrado el numerador de la fracción grande antes de simplificarla

Square the numerator of the large fraction before simplifying it

Pista grande:

Reconoce $3-2\sqrt2$ como $(\sqrt2-1)^2$

Recognize $3-2\sqrt2$ as $(\sqrt2-1)^2$

Solución:

Sea $T$ la primera fracción. El cuadrado de su numerador es $\begin{aligned} &(\sqrt5+2)+(\sqrt5-2)\\ &\quad+2\sqrt{(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)}\\ &=2\sqrt5+2. \end{aligned}$ Por tanto, $T^2=\frac{2\sqrt5+2}{\sqrt5+1}=2,$ y $T=\sqrt2.$ Además, $\sqrt{3-2\sqrt2}=\sqrt2-1.$ Así, $N=\sqrt2-(\sqrt2-1)=1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $T$ be the first fraction. Its numerator squared is $\begin{aligned} &(\sqrt5+2)+(\sqrt5-2)\\ &\quad+2\sqrt{(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)}\\ &=2\sqrt5+2. \end{aligned}$ Thus $T^2=\frac{2\sqrt5+2}{\sqrt5+1}=2,$ and $T=\sqrt2.$ Also $\sqrt{3-2\sqrt2}=\sqrt2-1.$ Hence $N=\sqrt2-(\sqrt2-1)=1.$

Therefore, the correct answer is A.

1976 AMC 12 Problema 27

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 27 en otros años