Question

Las rectas $L_1,$ $L_2,$ $\ldots,$ $L_{100}$ son distintas. Todas las rectas $L_{4n},$ con $n$ entero positivo, son paralelas entre sí. Todas las rectas $L_{4n-3},$ con $n$ entero positivo, pasan por un punto dado $A.$ El número máximo de puntos de intersección de pares de rectas del conjunto completo $\{L_1,L_2,\ldots,L_{100}\}$ es

Lines $L_1,$ $L_2,$ $\ldots,$ $L_{100}$ are distinct. All lines $L_{4n},$ $n$ a positive integer, are parallel to each other. All lines $L_{4n-3},$ $n$ a positive integer, pass through a given point $A.$ The maximum number of points of intersection of pairs of lines from the complete set $\{L_1,L_2,\ldots,L_{100}\}$ is

$4350$

$4351$

$4900$

$4901$

$9851$

Respuesta: B

Conceptos:conteo de intersecciones combinaciones doble conteo

Nivel de dificultad: 2320

Pista pequeña:

Comienza con $\binom{100}{2}$ intersecciones en posición general

Start with $\binom{100}{2}$ intersections in general position

Pista grande:

Elimina los pares entre las $25$ rectas paralelas y reúne los pares entre las $25$ rectas concurrentes en un solo punto

Remove the pairs among the $25$ parallel lines and collapse the pairs among the $25$ concurrent lines to one point

Solución:

Hay $25$ índices divisibles por $4$ y $25$ congruentes con $1\pmod4.$ A partir de $\binom{100}{2}=4950,$ el grupo paralelo no aporta intersecciones, por lo que se restan $\binom{25}{2}=300.$ Los $300$ pares del grupo concurrente producen un solo punto en vez de $300$ puntos distintos, por lo que se restan otros $299.$ Todas las intersecciones restantes pueden elegirse distintas, así que el máximo es $4950-300-299=4351.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are $25$ indices divisible by $4$ and $25$ congruent to $1\pmod4.$ Starting from $\binom{100}{2}=4950,$ the parallel group contributes no intersections, removing $\binom{25}{2}=300.$ The concurrent group’s $300$ pairs all give one point rather than $300$ distinct points, removing another $299.$ All remaining intersections can be chosen distinct, so the maximum is $4950-300-299=4351.$

Therefore, the correct answer is B.

1976 AMC 12 Problema 28

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2320

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años