Question

Un cuadrilátero cuyos lados consecutivos tienen longitudes $70,$ $90,$ $130,$ y $110$ está inscrito en un círculo y también tiene un círculo inscrito. El punto de tangencia del círculo inscrito con el lado de longitud $130$ divide ese lado en segmentos de longitudes $x$ y $y.$ Halla $|x-y|.$

A quadrilateral that has consecutive sides of lengths $70,$ $90,$ $130,$ and $110$ is inscribed in a circle and also has a circle inscribed in it. The point of tangency of the inscribed circle to the side of length $130$ divides that side into segments of lengths $x$ and $y.$ Find $|x-y|.$

$12$

$13$

$14$

$15$

$16$

Respuesta: B

Conceptos:tangential quadrilateral cuadrilátero cíclico tangent lengths

Nivel de dificultad: 2760

Pista pequeña:

Asigna una longitud tangente a cada vértice, de modo que cada par adyacente sume la longitud del lado correspondiente

Assign one tangent length to each vertex, so adjacent pairs sum to the four side lengths

Pista grande:

Para ángulos opuestos suplementarios, los productos de las longitudes tangentes en vértices opuestos son iguales

For supplementary opposite angles, the products of the tangent lengths at opposite vertices are equal

Solución:

Sean $u,v,w,z$ las longitudes tangentes desde los cuatro vértices consecutivos. Entonces $\begin{aligned} u+v&=70, &v+w&=90,\\ w+z&=130, &z+u&=110. \end{aligned}$ Así, $v=70-u,$ $w=20+u,$ y $z=110-u.$ Si el inradio es $r,$ un vértice con ángulo $A$ tiene longitud tangente $r\cot(\frac{A}{2}).$ Los ángulos opuestos son suplementarios, por lo que $uw=vz.$ En consecuencia, $u(20+u)=(70-u)(110-u),$ lo que da $u=38.5.$ Por tanto, los dos segmentos del lado de longitud $130$ son $w=58.5$ y $z=71.5,$ cuya diferencia es $13.$

Por tanto, la respuesta correcta es B.

Let the tangent lengths from the four consecutive vertices be $u,v,w,z.$ Then $\begin{aligned} u+v&=70, &v+w&=90,\\ w+z&=130, &z+u&=110. \end{aligned}$ Thus $v=70-u,$ $w=20+u,$ and $z=110-u.$ If the inradius is $r,$ a vertex with angle $A$ has tangent length $r\cot(\frac{A}{2}).$ Opposite angles are supplementary, so $uw=vz.$ Therefore $u(20+u)=(70-u)(110-u),$ giving $u=38.5.$ Hence the two segments of the $130$ -side are $w=58.5$ and $z=71.5,$ whose difference is $13.$

Thus the correct answer is B.

1990 AMC 12 Problema 28

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2760

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años