Question

En el triángulo $ABC,$ la mediana desde el vértice $A$ es perpendicular a la mediana desde el vértice $B.$ Si las longitudes de los lados $AC$ y $BC$ son $6$ y $7,$ respectivamente, entonces la longitud del lado $AB$ es:

In triangle $ABC,$ the median from vertex $A$ is perpendicular to the median from vertex $B.$ If the lengths of sides $AC$ and $BC$ are $6$ and $7,$ respectively, then the length of side $AB$ is:

$\sqrt{17}$

$4$

$4\tfrac12$

$2\sqrt5$

$4\tfrac14$

Respuesta: A

Conceptos:baricentro mediana (geometría)vector Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Coloca el centroide en el origen y sean los vectores de posición de $A,B$ los vectores perpendiculares $u,v$

Place the centroid at the origin and let the position vectors of $A,B$ be perpendicular vectors $u,v$

Pista grande:

Entonces $C=-u-v,$ por lo que $AC^2=|2u+v|^2$ y $BC^2=|u+2v|^2$

Then $C=-u-v,$ so $AC^2=|2u+v|^2$ and $BC^2=|u+2v|^2$

Solución:

Coloca el centroide en el origen. Sean $u$ y $v$ los vectores de posición de $A$ y $B.$ Las dos medianas tienen las direcciones de $u$ y $v,$ así que $u\cdot v=0.$ Además, la condición del centroide da $C=-u-v.$

Sean $U=|u|^2$ y $V=|v|^2.$ Entonces $AC^2=|2u+v|^2=4U+V=36$ y $\begin{aligned} BC^2&=|u+2v|^2\\ &=U+4V=49. \end{aligned}$ Al sumar múltiplos adecuados obtenemos $U+V=17.$ Finalmente, $AB^2=|u-v|^2=U+V=17,$ así que $AB=\sqrt{17}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Place the centroid at the origin. Let the position vectors of $A$ and $B$ be $u$ and $v.$ The two medians lie along $u$ and $v,$ so $u\cdot v=0.$ Also the centroid condition gives $C=-u-v.$

Let $U=|u|^2$ and $V=|v|^2.$ Then $AC^2=|2u+v|^2=4U+V=36$ and $\begin{aligned} BC^2&=|u+2v|^2\\ &=U+4V=49. \end{aligned}$ Adding appropriate multiples gives $U+V=17.$ Finally, $AB^2=|u-v|^2=U+V=17,$ so $AB=\sqrt{17}.$

Therefore, the correct answer is A.

1970 AMC 12 Problema 28

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años