Question

Una moneda sesgada tiene probabilidad $p$ de caer cara en un solo lanzamiento. Sea $w$ la probabilidad de que, en $5$ lanzamientos independientes de esta moneda, se obtengan exactamente $3$ caras. Si $w=\frac{144}{625},$ entonces

An unfair coin has probability $p$ of coming up heads on a single toss. Let $w$ be the probability that, in $5$ independent tosses of this coin, heads come up exactly $3$ times. If $w=\frac{144}{625},$ then

$p$ debe ser $\frac{2}{5}$

$p$ must be $\frac{2}{5}$

$p$ debe ser $\frac{3}{5}$

$p$ must be $\frac{3}{5}$

$p$ debe ser mayor que $\frac{3}{5}$

$p$ must be greater than $\frac{3}{5}$

$p$ no está determinado de manera única

$p$ is not uniquely determined

no existe ningún valor de $p$ para el cual $w=\frac{144}{625}$

there is no value of $p$ for which $w=\frac{144}{625}$

Respuesta: D

Conceptos:probabilidad binomial continuity nonunique solutions

Nivel de dificultad: 2360

Pista pequeña:

Escribe $w$ como función de $p$ mediante el coeficiente binomial

Write $w$ as a function of $p$ using the binomial coefficient

Pista grande:

Comprueba un valor sencillo y luego compara la función en $p=\frac{3}{5}$ y $p=1$

Check one simple value, then compare the function at $p=\frac{3}{5}$ and $p=1$

Solución:

Aquí, $w(p)=10p^3(1-p)^2.$ Para $p=\frac{2}{5},$ $w=10\left(\frac25\right)^3\left(\frac35\right)^2 =\frac{144}{625}.$ Además, $w(\frac{3}{5})=\frac{216}{625}>\frac{144}{625},$ mientras que $w(1)=0.$ Por continuidad, hay otra solución entre $\frac{3}{5}$ y $1.$ Por tanto, $p$ no es único.

Por tanto, la respuesta correcta es D.

Here $w(p)=10p^3(1-p)^2.$ At $p=\frac{2}{5},$ $w=10\left(\frac25\right)^3\left(\frac35\right)^2 =\frac{144}{625}.$ Also $w(\frac{3}{5})=\frac{216}{625}>\frac{144}{625},$ while $w(1)=0.$ By continuity there is another solution between $\frac{3}{5}$ and $1.$ Hence $p$ is not unique.

Thus the correct answer is D.

1988 AMC 12 Problema 28

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2360

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años