Question

En la figura, $AB\perp BC,$ $BC\perp CD,$ y $BC$ es tangente a la circunferencia de centro $O$ y diámetro $AD.$ ¿En cuál de los casos siguientes el área de $ABCD$ es un entero?

In the figure, $AB\perp BC,$ $BC\perp CD,$ and $BC$ is tangent to the circle with center $O$ and diameter $AD.$ In which one of the following cases is the area of $ABCD$ an integer?

$AB=3,$ $CD=1$

$AB=5,$ $CD=2$

$AB=7,$ $CD=3$

$AB=9,$ $CD=4$

$AB=11,$ $CD=5$

Respuesta: D

Conceptos:circle tangency potencia de un punto trapezoid area

Nivel de dificultad: 2280

Pista pequeña:

Sea $M$ el punto de tangencia y usa el diámetro para formar un rectángulo dentro del trapecio

Let the tangent point be $M$ and use the diameter to form a rectangle inside the trapezoid

Pista grande:

La potencia del punto $B$ relaciona la mitad de $BC$ con $AB$ y $CD$

Power of point $B$ relates half of $BC$ to $AB$ and $CD$

Solución:

El punto de tangencia es el punto medio de $BC,$ y la relación entre tangente y secante da $(\frac{BC}{2})^2=AB\cdot CD.$ Por tanto, $BC=2\sqrt{AB\cdot CD},$ y el área del trapecio es $\begin{aligned} \text{Área} &=\frac{AB+CD}{2}BC\\ &=(AB+CD)\sqrt{AB\cdot CD}. \end{aligned}$ Solo $AB=9,\ CD=4$ hace que el producto bajo el radical sea un cuadrado; el área es $13\cdot6=78.$

Por tanto, la respuesta correcta es D.

The tangent point is the midpoint of $BC,$ and the tangent-secant relation gives $(\frac{BC}{2})^2=AB\cdot CD.$ Thus $BC=2\sqrt{AB\cdot CD},$ and the trapezoid area is $\begin{aligned} \text{Area} &=\frac{AB+CD}{2}BC\\ &=(AB+CD)\sqrt{AB\cdot CD}. \end{aligned}$ Only $AB=9,\ CD=4$ makes the product under the radical a square; the area is $13\cdot6=78.$

Thus the correct answer is D.

1988 AMC 12 Problema 27

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 27 en otros años