Question

Una caja contiene fichas, cada una de las cuales es roja, blanca o azul. El número de fichas azules es al menos la mitad del número de fichas blancas y como máximo un tercio del número de fichas rojas. El número de fichas blancas o azules es al menos $55.$ El número mínimo de fichas rojas es:

A box contains chips, each of which is red, white, or blue. The number of blue chips is at least half the number of white chips and at most one-third the number of red chips. The number which are white or blue is at least $55.$ The minimum number of red chips is:

$24$

$33$

$45$

$54$

$57$

Respuesta: E

Conceptos:desigualdad optimización acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Sean $r,w,b$ las cantidades y traduce cada condición a una desigualdad

Let the counts be $r,w,b$ and translate every condition into an inequality

Pista grande:

A partir de $w\le2b$ y $w+b\ge55$ , halla el menor entero posible $b$

From $w\le2b$ and $w+b\ge55$ , find the least possible integer $b$

Solución:

Sean $r,w,b$ las cantidades. Las condiciones dan $\begin{gathered} w\le2b,\\ r\ge3b,\\ w+b\ge55. \end{gathered}$ Por tanto, $3b\ge w+b\ge55,$ así que $b\ge19$ y $r\ge57.$ La igualdad es posible con $(w,b,r)=(36,19,57),$ por lo que el mínimo es $57.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the counts be $r,w,b.$ The conditions give $\begin{gathered} w\le2b,\\ r\ge3b,\\ w+b\ge55. \end{gathered}$ Hence $3b\ge w+b\ge55,$ so $b\ge19$ and $r\ge57.$ Equality is possible with $(w,b,r)=(36,19,57),$ so the minimum is $57.$

Therefore, the correct answer is E.

1971 AMC 12 Problema 27

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 27 en otros años