Question

Los automóviles $A$ y $B$ recorren la misma distancia. El automóvil $A$ recorre la mitad de esa distancia a $u$ millas por hora y la otra mitad a $v$ millas por hora. El automóvil $B$ viaja la mitad del tiempo a $u$ millas por hora y la otra mitad a $v$ millas por hora. La rapidez promedio de $A$ es $x$ millas por hora y la de $B$ es $y$ millas por hora. Entonces siempre se cumple

Cars $A$ and $B$ travel the same distance. Car $A$ travels half that distance at $u$ miles per hour and half at $v$ miles per hour. Car $B$ travels half the time at $u$ miles per hour and half at $v$ miles per hour. The average speed of Car $A$ is $x$ miles per hour and that of Car $B$ is $y$ miles per hour. Then we always have

$x\le y$

$x\ge y$

$x=y$

$x\lt y$

$x\gt y$

Respuesta: A

Conceptos:media armónica desigualdad manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

El promedio del automóvil $A$ es la media armónica de $u$ y $v,$ mientras que el del automóvil $B$ es su media aritmética

Car $A$ ’s average is the harmonic mean of $u$ and $v,$ while Car $B$ ’s is their arithmetic mean

Pista grande:

Resta las dos medias y factoriza el numerador como un cuadrado

Subtract the two means and factor the numerator as a square

Solución:

El promedio por distancias iguales del automóvil $A$ y el promedio por tiempos iguales del automóvil $B$ son $x=\frac{2uv}{u+v}, \qquad y=\frac{u+v}{2}.$ Su diferencia es $\begin{aligned} y-x &=\frac{(u+v)^2-4uv}{2(u+v)}\\ &=\frac{(u-v)^2}{2(u+v)}\\ &\ge0. \end{aligned}$ Así, $x\le y,$ con igualdad posible cuando $u=v.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Car $A$ ’s equal-distance average and Car $B$ ’s equal-time average are $x=\frac{2uv}{u+v}, \qquad y=\frac{u+v}{2}.$ Their difference is $\begin{aligned} y-x &=\frac{(u+v)^2-4uv}{2(u+v)}\\ &=\frac{(u-v)^2}{2(u+v)}\\ &\ge0. \end{aligned}$ Thus $x\le y,$ with equality possible when $u=v.$

Therefore, the correct answer is A.

1973 AMC 12 Problema 27

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 27 en otros años