Question

Se escribe en una pizarra un conjunto de enteros positivos consecutivos que comienza con $1.$ Se borra uno de los números. El promedio, o media aritmética, de los números restantes es $35\frac7{17}.$ ¿Qué número se borró?

A set of consecutive positive integers beginning with $1$ is written on a blackboard. One number is erased. The average (arithmetic mean) of the remaining numbers is $35\frac7{17}.$ What number was erased?

$6$

$7$

$8$

$9$

no se puede determinar

can not be determined

Respuesta: B

Conceptos:media sucesión aritmética divisibilidad

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Si el último número escrito es $n,$ quedan $n-1$ números

If the last written number is $n,$ the remaining count is $n-1$

Pista grande:

Usa las cotas $1\le e\le n$ para el valor borrado a fin de reducir los posibles valores de $n$

Use the bounds $1\le e\le n$ on the erased value to narrow the possible values of $n$

Solución:

El nuevo promedio $\frac{602}{17}$ es menor que el promedio original $\frac{n+1}{2}$ , pero difiere de él en menos de $\frac{n}{n-1},$ lo que obliga a que $n=69$ o $70.$ Como la suma restante $(n-1)(\frac{602}{17})$ debe ser entera, $n-1$ es divisible por $17,$ así que $n=69.$ El número borrado es $\begin{aligned} 2415-68\cdot\frac{602}{17} &=2415-2408\\ &=7. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The new average $\frac{602}{17}$ is below the original average $\frac{n+1}{2}$ but differs from it by less than $\frac{n}{n-1},$ forcing $n=69$ or $70.$ Since the remaining sum $(n-1)(\frac{602}{17})$ must be integral, $n-1$ is divisible by $17,$ so $n=69.$ The erased number is $\begin{aligned} 2415-68\cdot\frac{602}{17} &=2415-2408\\ &=7. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

1982 AMC 12 Problema 28

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años