Question

En un paralelepípedo rectangular de $4\times4\times3$ , los vértices $A,$ $B,$ y $C$ son adyacentes al vértice $D.$ La distancia perpendicular de $D$ al plano que contiene $A,$ $B,$ y $C$ es aproximadamente

On a $4\times4\times3$ rectangular parallelepiped, vertices $A,$ $B,$ and $C$ are adjacent to vertex $D.$ The perpendicular distance from $D$ to the plane containing $A,$ $B,$ and $C$ is closest to

$1.6$

$1.9$

$2.1$

$2.7$

$2.9$

Respuesta: C

Conceptos:planes point-to-plane distance

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Coloca $D$ en el origen con las tres aristas adyacentes sobre los ejes coordenados

Place $D$ at the origin with the three adjacent edges along coordinate axes

Pista grande:

Escribe la forma de interceptos del plano que pasa por $(4,0,0),(0,4,0),(0,0,3)$

Write the intercept form of the plane through $(4,0,0),(0,4,0),(0,0,3)$

Solución:

Pon $D=(0,0,0)$ y toma los vértices adyacentes como $(4,0,0),(0,4,0),(0,0,3).$ Su plano es $\frac{x}{4}+\frac{y}{4}+\frac{z}{3}=1.$ Su distancia al origen es $\begin{aligned} \frac1{\sqrt{\begin{gathered} (\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{4})^2\\ {}+(\frac{1}{3})^2 \end{gathered}}} &=\frac{12}{\sqrt{34}}\\ &\approx2.06, \end{aligned}$ cuyo valor más cercano es $2.1.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Put $D=(0,0,0)$ and take the adjacent vertices as $(4,0,0),(0,4,0),(0,0,3).$ Their plane is $\frac{x}{4}+\frac{y}{4}+\frac{z}{3}=1.$ Its distance from the origin is $\begin{aligned} \frac1{\sqrt{\begin{gathered} (\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{4})^2\\ {}+(\frac{1}{3})^2 \end{gathered}}} &=\frac{12}{\sqrt{34}}\\ &\approx2.06, \end{aligned}$ closest to $2.1.$ Thus the correct answer is C.

1996 AMC 12 Problema 28

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años