Question

考虑数列 $x_1$ 、 $x_2$ 、 $x_3$ 、 $\ldots$ ，其定义为 $\begin{aligned} x_1&=\sqrt[3]{3},\\ x_2&=(\sqrt[3]{3})^{\sqrt[3]{3}}\text{。} \end{aligned}$ 一般地， $x_n=(x_{n-1})^{\sqrt[3]{3}}$ 其中 $n\gt1$ 。求最小的 $n$ ，使 $x_n$ 为整数。

Consider a sequence $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $\ldots,$ defined by $\begin{aligned} x_1&=\sqrt[3]{3},\\ x_2&=(\sqrt[3]{3})^{\sqrt[3]{3}}. \end{aligned}$ and in general $x_n=(x_{n-1})^{\sqrt[3]{3}}$ for $n\gt1.$ What is the smallest value of $n$ for which $x_n$ is an integer?

$2$

$3$

$4$

$9$

$27$

答案：C

知识点：指数不等式根式递推

难度评级：2380

小提示：

令 $c=\sqrt[3]{3}$ ，并追踪 $3$ 的指数

Let $c=\sqrt[3]{3}$ and track the exponent of $3$

大提示：

证明 $x_n=3^{\frac{c^{\,n-1}}{3}}$ ，再检查前四项

Show that $x_n=3^{\frac{c^{\,n-1}}{3}}$ and examine the first four terms

解答：

令 $c=\sqrt[3]{3}$ 。反复应用递推式得到 $x_n=3^{\frac{c^{\,n-1}}{3}}\text{，}$ 所以 $x_4=3^{\frac{c^3}{3}}=3$ 。还需排除前三项。该数列严格递增。又因为 $c\lt\frac{3}{2}$ ， $x_2=c^c \lt\left(\frac32\right)^{\frac{3}{2}} \lt2\text{。}$ 最后， $x_3=3^{\frac{1}{c}}$ 。由于 $2^c\lt2^{\frac{3}{2}}\lt3$ ，有 $x_3\gt2$ ；而 $\frac{1}{c}\lt1$ 给出 $x_3\lt3$ 。所以 $x_1,x_2,x_3$ 都不是整数，第一项整数是 $x_4$ 。

因此正确答案是 C。

Let $c=\sqrt[3]{3}.$ Repeated application of the recurrence gives $x_n=3^{\frac{c^{\,n-1}}{3}},$ so $x_4=3^{\frac{c^3}{3}}=3.$ It remains to rule out the first three terms. The sequence is strictly increasing. Also $c\lt\frac{3}{2},$ so $x_2=c^c \lt\left(\frac32\right)^{\frac{3}{2}} \lt2.$ Finally $x_3=3^{\frac{1}{c}}.$ Since $2^c\lt2^{\frac{3}{2}}\lt3,$ we have $x_3\gt2,$ while $\frac{1}{c}\lt1$ gives $x_3\lt3.$ Thus $x_1,x_2,x_3$ are not integers, and the first integral term is $x_4.$

Therefore the correct answer is C.

1985 AMC 12 第 27 题

答案：C

难度评级：2380

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 27 题