Question

设 $ax^2+bx+c=0$ 的两根为 $r$ 和 $s$ 。以 $ar+b$ 和 $as+b$ 为根的方程是：

Let the roots of $ax^2+bx+c=0$ be $r$ and $s.$ The equation with roots $ar+b$ and $as+b$ is:

$x^2-bx-ac=0$

$x^2-bx+ac=0$

$x^2+3bx+ca+2b^2=0$

$x^2+3bx-ca+2b^2=0$

$\begin{gathered}x^2+bx(2-a)\\{}+a^2c+b^2(a+1)=0\end{gathered}$

答案：B

知识点：韦达定理二次方程代数变形

难度评级：1500

小提示：

使用 $r+s=-\frac{b}{a}$ 和 $rs=\frac{c}{a}$

Use $r+s=-\frac{b}{a}$ and $rs=\frac{c}{a}$

大提示：

计算 $ar+b$ 与 $as+b$ 的和及乘积

Compute the sum and product of $ar+b$ and $as+b$

解答：

变换后的两根之和为 $a(r+s)+2b=-b+2b=b$ 乘积为 $\begin{gathered} (ar+b)(as+b)\\ =a^2rs+ab(r+s)+b^2\\ =ac \end{gathered}\text{。}$ 因此以它们为根的首一方程为 $x^2-bx+ac=0$ 。

所以，正确答案是 B。

The transformed roots have sum $a(r+s)+2b=-b+2b=b$ and product $\begin{gathered} (ar+b)(as+b)\\ =a^2rs+ab(r+s)+b^2\\ =ac. \end{gathered}$ Therefore their monic equation is $x^2-bx+ac=0.$

Thus, the correct answer is B.

1961 AMC 12 第 29 题

答案：B

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 29 题