Question

若正整数 $n$ 满足 $2n$ 有 $28$ 个正因数，且 $3n$ 有 $30$ 个正因数，那么 $6n$ 有多少个正因数？

If $n$ is a positive integer such that $2n$ has $28$ positive divisors and $3n$ has $30$ positive divisors, then how many positive divisors does $6n$ have?

$32$

$34$

$35$

$36$

$38$

答案：C

知识点：divisor function 质因数分解

难度评级：2150

小提示：

写成 $n=2^a3^bq$ ，其中 $q$ 与 $6$ 互质，并设 $t$ 为 $q$ 的因数个数

Write $n=2^a3^bq$ , where $q$ is relatively prime to $6$ , and let $t$ be the number of divisors of $q$

大提示：

利用两个因数个数方程，将 $t$ 限制为 $28$ 和 $30$ 的公因数

Use the two divisor-count equations to restrict $t$ to a divisor of both $28$ and $30$

解答：

写成 $n=2^a3^bq$ ，其中 $\gcd(q,6)=1$ ，并令 $t=\tau(q)$ 。于是 $\begin{aligned} (a+2)(b+1)t&=28,\\ (a+1)(b+2)t&=30 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $t$ 是 $1$ 或 $2$ 。检验 $14,15$ 的因数对，发现当 $t=2$ 时无解；检验 $28,30$ 的因数对，发现当 $t=1$ 时得到唯一解 $a=5,b=3$ 。所以 $\begin{aligned} \tau(6n)&=(a+2)(b+2)t\\ &=7\cdot5=35 \end{aligned}\text{，}$ 正确答案是 C。

Write $n=2^a3^bq$ with $\gcd(q,6)=1,$ and let $t=\tau(q).$ Then $\begin{aligned} (a+2)(b+1)t&=28,\\ (a+1)(b+2)t&=30. \end{aligned}$ Hence $t$ is $1$ or $2.$ Checking the factor pairs of $14,15$ gives no solution when $t=2.$ Checking those of $28,30$ when $t=1$ gives the unique solution $a=5,b=3.$ Therefore $\begin{aligned} \tau(6n)&=(a+2)(b+2)t\\ &=7\cdot5=35, \end{aligned}$ so the correct answer is C.

1996 AMC 12 第 29 题

答案：C

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 29 题