Question

将凸四边形 $ABCD$ 的边 $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$ 、 $DA$ 分别越过 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $A$ 延长到点 $B'$ 、 $C'$ 、 $D'$ 、 $A'$ 。已知 $AB=BB'=6$ 、 $BC=CC'=7$ 、 $CD=DD'=8$ 、 $DA=AA'=9$ ，且 $ABCD$ 的面积为 $10$ 。则 $A'B'C'D'$ 的面积为

Sides $AB,$ $BC,$ $CD,$ and $DA,$ respectively, of convex quadrilateral $ABCD$ are extended past $B,$ $C,$ $D,$ and $A$ to points $B',$ $C',$ $D',$ and $A'.$ Also, $AB=BB'=6,$ $BC=CC'=7,$ $CD=DD'=8,$ and $DA=AA'=9;$ and the area of $ABCD$ is $10.$ The area of $A'B'C'D'$ is

$20$

$40$

$45$

$50$

$60$

答案：D

知识点：向量面积分割

难度评级：2040

小提示：

用向量表示， $A'=2A-D$ 、 $B'=2B-A$ ，另外两个顶点也有类似表示

In vector notation, $A'=2A-D,$ $B'=2B-A,$ and similarly for the other two vertices

大提示：

将这些表达式代入多边形的叉积面积公式

Substitute these expressions into the cross-product area formula for a polygon

解答：

利用位置向量，相等的延长线段给出 $\begin{aligned} A'&=2A-D,& B'&=2B-A,\\ C'&=2C-B,& D'&=2D-C\text{。} \end{aligned}$ 将这些式子代入有向多边形面积和式，可见对角的叉积项相互抵消： $\begin{aligned} &A'\mathbin{\times}B' +B'\mathbin{\times}C'\\ &\quad+C'\mathbin{\times}D' +D'\mathbin{\times}A'\\ &=5A\mathbin{\times}B +5B\mathbin{\times}C\\ &\quad+5C\mathbin{\times}D +5D\mathbin{\times}A\text{。} \end{aligned}$ 因此外部四边形的面积是原四边形面积的五倍，即 $5\cdot10=50$ 。

因此，正确答案是 D。

Using position vectors, the equal extensions give $\begin{aligned} A'&=2A-D,& B'&=2B-A,\\ C'&=2C-B,& D'&=2D-C. \end{aligned}$ Substitution into the oriented polygon-area sum shows that the diagonal cross terms cancel: $\begin{aligned} &A'\mathbin{\times}B' +B'\mathbin{\times}C'\\ &\quad+C'\mathbin{\times}D' +D'\mathbin{\times}A'\\ &=5A\mathbin{\times}B +5B\mathbin{\times}C\\ &\quad+5C\mathbin{\times}D +5D\mathbin{\times}A. \end{aligned}$ Hence the outer area is five times the original area, or $5\cdot10=50.$

Therefore, the correct answer is D.

1978 AMC 12 第 29 题

答案：D

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 29 题