Question

对于每个正数 $x$ ，定义 $f(x)= \frac{\begin{gathered} \left(x+\frac1x\right)^6\\ {}-\left(x^6+\frac1{x^6}\right)-2 \end{gathered}} {\begin{gathered} \left(x+\frac1x\right)^3\\ {}+\left(x^3+\frac1{x^3}\right) \end{gathered}}\text{。}$ 则 $f(x)$ 的最小值为

For each positive number $x,$ let $f(x)= \frac{\begin{gathered} \left(x+\frac1x\right)^6\\ {}-\left(x^6+\frac1{x^6}\right)-2 \end{gathered}} {\begin{gathered} \left(x+\frac1x\right)^3\\ {}+\left(x^3+\frac1{x^3}\right) \end{gathered}}.$ The minimum value of $f(x)$ is

$1$

$2$

$3$

$4$

$6$

答案：E

知识点：代数变形平方差算术-几何平均不等式

难度评级：2100

小提示：

令 $t=x+\frac{1}{x}$ ，并把 $x^3+x^{-3}$ 表示成 $t$ 的式子

Set $t=x+\frac{1}{x}$ and write $x^3+x^{-3}$ in terms of $t$

大提示：

把分子因式分解为平方差，再利用 $x+\frac{1}{x}\ge2$

Factor the numerator as a difference of squares, then use $x+\frac{1}{x}\ge2$

解答：

令 $t=x+\frac{1}{x}$ ， $u=x^3+x^{-3}=t^3-3t$ 。因为 $x^6+x^{-6}=u^2-2$ ，所以分子为 $\begin{aligned} t^6-u^2&=(t^3-u)(t^3+u)\\ &=3t(t^3+u) \end{aligned}\text{。}$ 分母为 $t^3+u$ ，所以 $f(x)=3t=3(x+\frac{1}{x})$ 。当 $x\gt0$ 时， $x+\frac{1}{x}\ge2$ ，且在 $x=1$ 时取等号。因此最小值为 $6$ 。

因此，正确答案是 E。

Let $t=x+\frac{1}{x}$ and $u=x^3+x^{-3}=t^3-3t.$ Since $x^6+x^{-6}=u^2-2,$ the numerator is $\begin{aligned} t^6-u^2&=(t^3-u)(t^3+u)\\ &=3t(t^3+u). \end{aligned}$ The denominator is $t^3+u,$ so $f(x)=3t=3(x+\frac{1}{x}).$ For $x\gt0,$ $x+\frac{1}{x}\ge2,$ with equality at $x=1.$ Thus the minimum is $6.$

Therefore, the correct answer is E.

1979 AMC 12 第 29 题

答案：E

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 29 题