Question

若 $x=t^{\frac{1}{t-1}}$ 、 $y=t^{\frac{t}{t-1}}$ ，且 $t\gt0$ 、 $t\ne1$ ，则 $x$ 与 $y$ 之间的一个关系是：

If $x=t^{\frac{1}{t-1}}$ and $y=t^{\frac{t}{t-1}},$ $t\gt0,$ $t\ne1,$ a relation between $x$ and $y$ is:

$y^x=x^{\frac{1}{y}}$

$y^{\frac{1}{x}}=x^y$

$y^x=x^y$

$x^x=y^y$

以上都不是

none of these

答案：C

知识点：指数代数变形换元法

难度评级：2100

小提示：

用 $y$ 除以 $x$ ，用 $x$ 、 $y$ 表示 $t$

Divide $y$ by $x$ to express $t$ in terms of $x$ and $y$

大提示：

再观察到 $y=x^t$ ，然后消去 $t$

Also observe that $y=x^t$ , then eliminate $t$

解答：

将两个定义相除，得到 $\frac yx=t^{\frac{t-1}{t-1}}=t\text{。}$ 此外， $y=t^{\frac{t}{t-1}}=\left(t^{\frac{1}{t-1}}\right)^t=x^t\text{。}$ 代入 $t=\frac{y}{x}$ ，得 $y=x^{\frac{y}{x}}$ 。两边取 $x$ 次幂，得到 $y^x=x^y$ 。

所以正确答案是 C。

Dividing the definitions gives $\frac yx=t^{\frac{t-1}{t-1}}=t.$ Also, $y=t^{\frac{t}{t-1}}=\left(t^{\frac{1}{t-1}}\right)^t=x^t.$ Substituting $t=\frac{y}{x}$ gives $y=x^{\frac{y}{x}}.$ Raising both sides to the power $x$ yields $y^x=x^y.$

Therefore, the correct answer is C.

1969 AMC 12 第 29 题

答案：C

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 29 题