Question

已知三个数 $x$ 、 $y=x^x$ 、 $z=x^{(x^x)}$ ，其中 $0.9\lt x\lt1.0$ 。按从小到大排列为：

Given the three numbers $x,$ $y=x^x,$ $z=x^{(x^x)},$ with $0.9\lt x\lt1.0.$ Arranged in order of increasing magnitude, they are:

$x$ 、 $z$ 、 $y$

$x,$ $z,$ $y$

$x$ 、 $y$ 、 $z$

$x,$ $y,$ $z$

$y$ 、 $x$ 、 $z$

$y,$ $x,$ $z$

$y$ 、 $z$ 、 $x$

$y,$ $z,$ $x$

$z$ 、 $x$ 、 $y$

$z,$ $x,$ $y$

答案：A

知识点：指数不等式

难度评级：2000

小提示：

当 $0\lt x\lt1$ 时，可通过比较正指数来比较幂的大小

For $0\lt x\lt1,$ compare powers by comparing their positive exponents

大提示：

先证明 $x\lt x^x\lt1$ ，再比较 $x^{x^x}$

First show $x\lt x^x\lt1$ , then compare $x^{x^x}$

解答：

因为 $0\lt x\lt1$ 且 $x\lt1$ ，将底数 $x$ 提到指数 $x$ 可得 $x\lt y=x^x\lt1$ 。当底数介于 $0$ 与 $1$ 之间时，指数越大，幂值越小。由于 $x\lt y\lt1$ ，有 $x=x^1\lt x^y=z\lt x^x=y$ 。所以 $x\lt z\lt y$ 。

因此，正确答案是 A。

Since $0\lt x\lt1$ and $x\lt1,$ raising $x$ to the exponent $x$ gives $x\lt y=x^x\lt1.$ For a base between $0$ and $1,$ a larger exponent gives a smaller value. Because $x\lt y\lt1,$ we have $x=x^1\lt x^y=z\lt x^x=y.$ Thus $x\lt z\lt y.$

Therefore, the correct answer is A.

1968 AMC 12 第 29 题

答案：A

难度评级：2000

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 29 题