Question

$AB$ 是一个圆的直径。作切线 $AD$ 与 $BC$ ，使 $AC$ 与 $BD$ 交于圆上一点。若 $AD=a$ 、 $BC=b$ ，且 $a\ne b$ ，则圆的直径为：

$AB$ is a diameter of a circle. Tangents $AD$ and $BC$ are drawn so that $AC$ and $BD$ intersect in a point on the circle. If $AD=a$ and $BC=b,$ $a\ne b,$ the diameter of the circle is:

$\lvert a-b\rvert$

$\dfrac12(a+b)$

$\sqrt{ab}$

$\dfrac{ab}{a+b}$

$\dfrac12\cdot\dfrac{ab}{a+b}$

答案：C

知识点：圆切线相似圆周角

难度评级：2150

小提示：

设圆上的交点为 $P$ ；则 $\angle APB=90^\circ$

Let the intersection point on the circle be $P$ ; then $\angle APB=90^\circ$

大提示：

利用两条平行切线比较直角三角形 $ADB$ 与 $BCA$

Use the parallel tangents to compare right triangles $ADB$ and $BCA$

解答：

设直径 $d=AB$ 。因为 $AC$ 与 $BD$ 的交点在圆上，所以由泰勒斯定理，这两条直线互相垂直。此外，切线 $AD$ 与 $BC$ 平行。由此得到的直角三角形 $ADB$ 与 $BCA$ 相似，所以 $\frac da=\frac bd\text{。}$ 因此 $d^2=ab$ ，且 $d=\sqrt{ab}$ 。

因此，正确答案是 C。

Let $d=AB$ be the diameter. Since the intersection of $AC$ and $BD$ lies on the circle, those two lines are perpendicular by Thales’ theorem. Also the tangents $AD$ and $BC$ are parallel. The resulting right triangles $ADB$ and $BCA$ are similar, so $\frac da=\frac bd.$ Hence $d^2=ab$ and $d=\sqrt{ab}.$

Therefore, the correct answer is C.

1967 AMC 12 第 29 题

答案：C

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 29 题