Question

下列哪个集合不可能是一个长方体各表面对角线的长度集合？（表面对角线是长方体某个矩形面的对角线。）

Which of the following sets could NOT be the lengths of the external diagonals of a right rectangular prism [a “box”]? (An external diagonal is a diagonal of one of the rectangular faces of the box.)

$\{4,5,6\}$

$\{4,5,7\}$

$\{4,6,7\}$

$\{5,6,7\}$

$\{5,7,8\}$

答案：B

知识点：长方体 face diagonals Pythagorean inequalities

难度评级：2030

小提示：

若表面对角线满足 $p\le q\le r$ ，用 $p^2,q^2,r^2$ 表示棱长的平方。

If $p\le q\le r$ are the face diagonals, express the edge squares in terms of $p^2,q^2,r^2$

大提示：

各棱长平方为正的充要条件是 $r^2\lt p^2+q^2$ 。

A necessary and sufficient positivity condition is $r^2\lt p^2+q^2$

解答：

若棱长为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，则三条表面对角线长度的平方为 $a^2+b^2$ 、 $a^2+c^2$ 、 $b^2+c^2$ 。对按大小排列的对角线 $p\le q\le r$ ，有 $a^2=\frac{p^2+q^2-r^2}{2}\text{，}$ 因此必须满足 $r^2\lt p^2+q^2$ ；类似公式也说明这个条件充分。只有 $\{4,5,7\}$ 不满足，因为 $7^2=49\gt16+25=41$ 。所以正确答案是 B。

If the edge lengths are $a,$ $b,$ $c,$ then the three face-diagonal squares are $a^2+b^2,$ $a^2+c^2,$ $b^2+c^2.$ For sorted diagonals $p\le q\le r,$ $a^2=\frac{p^2+q^2-r^2}{2},$ so necessarily $r^2\lt p^2+q^2;$ the analogous formulas show this is also sufficient. Only $\{4,5,7\}$ fails, since $7^2=49\gt16+25=41.$ Thus the correct answer is B.

1993 AMC 12 第 29 题

答案：B

难度评级：2030

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 29 题