Question

若当 $-1\lt x\lt1$ 时 $f(x)=\log\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)$ ，则用 $f(x)$ 表示的 $f\left(\dfrac{3x+x^3}{1+3x^2}\right)$ 为：

If $f(x)=\log\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)$ for $-1\lt x\lt1,$ then $f\left(\dfrac{3x+x^3}{1+3x^2}\right)$ in terms of $f(x)$ is:

$-f(x)$

$2f(x)$

$3f(x)$

$[f(x)]^2$

$[f(x)]^3-f(x)$

答案：C

知识点：对数函数因式分解换元法

难度评级：1860

小提示：

把这个有理式代入 $\frac{1+u}{1-u}$

Substitute the rational expression into $\frac{1+u}{1-u}$

大提示：

其分子和分母分别可分解为 $(1+x)^3$ 与 $(1-x)^3$

Its numerator and denominator factor as $(1+x)^3$ and $(1-x)^3$

解答：

令 $u=\frac{3x+x^3}{1+3x^2}$ 。则 $\begin{aligned} \frac{1+u}{1-u} &=\frac{1+3x^2+3x+x^3} {1+3x^2-3x-x^3}\\ &=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3 \end{aligned}\text{。}$ 所以 $f(u)=3\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=3f(x)\text{。}$

因此，正确答案是 C。

Let $u=\frac{3x+x^3}{1+3x^2}.$ Then $\begin{aligned} \frac{1+u}{1-u} &=\frac{1+3x^2+3x+x^3} {1+3x^2-3x-x^3}\\ &=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3. \end{aligned}$ Consequently $f(u)=3\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=3f(x).$

Therefore, the correct answer is C.

1972 AMC 12 第 29 题

答案：C

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 29 题