Question

图中， $\overline{PA}$ 与半圆 $SAR$ 相切， $\overline{PB}$ 与半圆 $RBT$ 相切， $SRT$ 是一条直线；各弧如图所示。角 $APB$ 的度数为：

In the figure $\overline{PA}$ is tangent to semicircle $SAR;$ $\overline{PB}$ is tangent to semicircle $RBT;$ $SRT$ is a straight line; the arcs are indicated in the figure. Angle $APB$ is measured by:

$\dfrac12(a-b)$

$\dfrac12(a+b)$

$(c-a)-(d-b)$

$a-b$

$a+b$

答案：E

知识点：tangent-tangent angle circle arcs angle measure

难度评级：2310

小提示：

画出 $\overline{PR}$ ，它在 $R$ 点与两个半圆都相切

Draw $\overline{PR}$ , which is tangent to both semicircles at $R$

大提示：

对每个圆使用两切线夹角定理，再使用 $a+c=b+d=180^\circ$

Use the tangent-tangent angle theorem on each circle, then use $a+c=b+d=180^\circ$

解答：

直线 $PR$ 在两半圆的公共端点 $R$ 处与它们都相切。对较大的圆，两切线夹角定理给出 $\angle APR=180^\circ-a=c\text{。}$ 对较小的圆，同一定理给出 $\angle RPB=180^\circ-b=d\text{。}$ 因此，从 $\overline{PA}$ 经 $\overline{PR}$ 到 $\overline{PB}$ 的优角为 $c+d$ 。所以两条切线之间的另一个角为 $\begin{aligned} 360^\circ-(c+d) &=(180^\circ-c)\\ &\quad{}+(180^\circ-d)\\ &=a+b \end{aligned}\text{，}$ 因为每个上半圆的度数都是 $180^\circ$ 。

因此，正确答案是 E。

The line $PR$ is tangent to both semicircles at their common endpoint $R.$ For the larger circle, the tangent-tangent angle theorem gives $\angle APR=180^\circ-a=c.$ For the smaller circle, the same theorem gives $\angle RPB=180^\circ-b=d.$ Thus the reflex angle from $\overline{PA}$ to $\overline{PB}$ through $\overline{PR}$ has measure $c+d.$ Hence the other angle between the tangents is $\begin{aligned} 360^\circ-(c+d) &=(180^\circ-c)\\ &\quad{}+(180^\circ-d)\\ &=a+b, \end{aligned}$ because each upper semicircle has measure $180^\circ.$

Thus, the correct answer is E.

1955 AMC 12 第 29 题

答案：E

难度评级：2310

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 29 题