Question

对 $p=1$ 、 $2$ 、 $\ldots$ 、 $10$ ，令 $S_p$ 为一个等差数列前 $40$ 项的和，其中首项为 $p$ ，公差为 $2p-1$ 。则 $S_1+S_2+\cdots+S_{10}$ 等于

For $p=1,$ $2,$ $\ldots,$ $10$ let $S_p$ be the sum of the first $40$ terms of the arithmetic progression whose first term is $p$ and whose common difference is $2p-1;$ then $S_1+S_2+\cdots+S_{10}$ is

$80{,}000$

$80{,}200$

$80{,}400$

$80{,}600$

$80{,}800$

答案：B

知识点：等差数列求和

难度评级：1740

小提示：

使用 $40$ 项等差数列求和公式，其中 $p$ 固定

Use the $40$ -term arithmetic-series formula for a fixed $p$

大提示：

先化简 $S_p=20\bigl(2p+39(2p-1)\bigr)$ ，再对 $p$ 求和

Simplify $S_p=20\bigl(2p+39(2p-1)\bigr)$ before summing over $p$

解答：

对每个 $p$ ， $\begin{aligned} S_p&=\frac{40}{2} \bigl(2p+39(2p-1)\bigr)\\ &=1600p-780 \end{aligned}\text{。}$ 由于 $1+2+\cdots+10=55$ ，所以 $\begin{aligned} \sum_{p=1}^{10}S_p &=1600(55)-7800\\ &=80{,}200 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 B。

For each $p,$ $\begin{aligned} S_p&=\frac{40}{2} \bigl(2p+39(2p-1)\bigr)\\ &=1600p-780. \end{aligned}$ Since $1+2+\cdots+10=55,$ therefore $\begin{aligned} \sum_{p=1}^{10}S_p &=1600(55)-7800\\ &=80{,}200. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

1974 AMC 12 第 29 题

答案：B

难度评级：1740

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 29 题